浙大《数据结构》第七章：图(中)

Posted 2021-03-02 superorange

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了浙大《数据结构》第七章：图(中)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

注：本文使用的网课资源为中国大学MOOC

https://www.icourse163.org/course/ZJU-93001

最短路径问题

问题抽象

在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径

这条路径就是两点之间的最短路径(shortest path)
第一个顶点为源点(source)
最后一个顶点为终点(destination)

问题分类

1、单源最短路径问题，从某固定源点除法，求其到所有其他顶点的最短路径

（有向）无权图
（有向）有权图

2、多源最短路径问题：求任意两顶点之间的最短路径

无权图的单源最短路算法

按照递增(或者非递减)的顺序找到各个顶点的最短路(BFS)，时间复杂度T=O(|V|+|E|)

如上图所示，源点为v3,因此第0步从v3开始，其邻接点为v1和v6，入队后分别遍历，此时第1步指向v1和v6;先看v1的邻接点，有v2和v4，再看v6，没有邻接点，因此第2步指向v2和v4；入队后分别遍历，v2的邻接点为v4和v5，因为v4已经被访问，因此v4的下一步只有v5，同理v4的下一步只有v7，因此第3步指向v5和v7，此时图的结点已经全部遍历完。

经过遍历后，dist和path的值分别为：

下标	1	2	3	4	5	6	7
dist	1	2	0	2	3	1	3
path	3	1	-1	1	2	3	4

/* 邻接表存储 - 无权图的单源最短路算法 */
 
/* dist[]和path[]全部初始化为-1 */
/* dist用于存放源点到该顶点的最短距离，path存放遍历途中经过的顶点*/
void Unweighted ( LGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S )
{
    Queue Q;
    Vertex V;
    PtrToAdjVNode W;
     
    Q = CreateQueue( Graph->Nv ); /* 创建空队列, MaxSize为外部定义的常数 */
    dist[S] = 0; /* 初始化源点 */
    AddQ (Q, S);
 
    while( !IsEmpty(Q) )
    {
        V = DeleteQ(Q);
        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) /* 对V的每个邻接点W->AdjV */
            if ( dist[W->AdjV]==-1 )
            { /* 若W->AdjV未被访问过 */
                dist[W->AdjV] = dist[V]+1; /* W->AdjV到S的距离更新 */
                path[W->AdjV] = V; /* 将V记录在S到W->AdjV的路径上 */
                AddQ(Q, W->AdjV);
            }
    } /* while结束*/
}

有权图的单源最短路算法(Dijkstra算法)

令S={源点s + 已经确定好的最短路径(v_i)}
对任一未收录的顶点v，定义dist[v]为s到v的最短路径长度，但该路径仅进过S中的顶点，即路径{$ s o (v_i in S) o v$}的最小长度。
若路径是按照递增(非递减)的顺序生成的，则：
1. 真正的最短路径必须只经过s中的顶点；
2. 每次从未收录的顶点中选一个dist最小的收录
3. 每增加一个v进入s，可能影响另一个w的dist值（dist[w] = min{dist[w], dist[v] + <v,w>的权重}）

如图所示，不考虑负值圈，设V1为源点，V6为终点，可以找到路径(v_1 o v_4 o v_7 o v_6)是最短路径

遍历前，dist和path的初始值分别为：

下标	1	2	3	4	5	6	7
dist	(infty)	(infty)	(infty)	(infty)	(infty)	(infty)	(infty)
path	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1

源点为v1,此时将dist1更新为0, colleted1=true，而v1的邻接点有v2和v4，因此赋值dist2=2，dist4=1,path2=1,path4=1，然后正式进入Dijkstra算法；
从未被收录顶点中找dist最小者，此时选择v4: colleted4=true，v4的邻接点有v3,v5,v6,v7。此时赋值dist3=1+2,dist5=1+2,dist6=1+8,dist7=1+4, path3=path5=path6=path7=4;
从未被收录顶点中找dist最小者，此时选择v2: colleted2=true, v2的邻接点有v4和v5, 但是v4已被收录，因此只考虑v5, 此时赋值dist5 = min(dist5, 2+10)=3, 则path5仍为4；
从未被收录顶点中找dist最小者，因此dist3=dist5=3,此时选择编号较小的v3: colleted3=ture, v3的邻接点有v1和v6, 但是v1已被收录，因此只考虑v6, 此时赋值dist6 = min(dist6, 3+5)=8, 则path6更新为3；
从未被收录顶点中找dist最小者，此时选择v5: colleted5=true，v5的邻接点只有v7，此时赋值dist7 = min(dist7, 3+6)=5, 则path7仍为4；
从未被收录顶点中找dist最小者，此时选择v7: colleted7=true，v7的邻接点只有v6，此时赋值dist6 = min(dist6, 5+1)=6, 则path6更新为7；
从未被收录顶点中找dist最小者，此时选择v6: colleted7=true，由于V6没有邻接点，因此不做操作
所有顶点均被收录，退出循环。

经过遍历后，dist和path的值分别为：

下标	1	2	3	4	5	6	7
dist	0	2	3	1	3	6	5
path	-1	1	4	1	4	7	4

/* 邻接矩阵存储 - 有权图的单源最短路算法 */

/* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
Vertex FindMinDist( MGraph Graph, int dist[], int collected[] )
{ 
    Vertex MinV, V;
    int MinDist = INFINITY;
 
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
    {
        if ( collected[V]==false && dist[V]<MinDist) 
        {
            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */
            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */
            MinV = V; /* 更新对应顶点 */
        }
    }
    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */
    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回错误标记 */
}
 
bool Dijkstra( MGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S )
{
    int collected[MaxVertexNum];
    Vertex V, W;
 
    /* 初始化：此处默认邻接矩阵中不存在的边用INFINITY表示 */
    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) 
    {
        dist[V] = Graph->G[S][V];
        if ( dist[V]<INFINITY )
            path[V] = S;
        else
            path[V] = -1;
        collected[V] = false;
    }
    /* 先将起点收入集合 */
    dist[S] = 0;
    collected[S] = true;
 
    while (1) 
    {
        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
        V = FindMinDist( Graph, dist, collected );
        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
            break;      /* 算法结束 */
        collected[V] = true;  /* 收录V */
        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
        {
            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
            if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY )
            {
                if ( Graph->G[V][W]<0 ) /* 若有负边 */
                    return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */
                /* 若收录V使得dist[W]变小 */
                if ( dist[V]+Graph->G[V][W] < dist[W] ) 
                {
                    dist[W] = dist[V]+Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                    path[W] = V; /* 更新S到W的路径 */
                }
            }
        }
    } /* while结束*/
    return true; // 算法执行完毕，返回正确标记
}

多源最短路算法(FLOYD算法)

(D^k[i][j])=路径{(i o l le k o j)}的最小长度
(D^0,D^1,...,D^{|V|-1}[i][j])即给出了i到j的真正最短距离
最初的(D^{-1})是
当(D^{k-1})已经完成，递推到(D^k)时：
1. 或者(k otin)最短路径{(i o l le k o j)}，则(D^k=D^{k-1})
2. 或者(kin)最短路径{(i o l le k o j)}，则该路径必定由两段最短路径组成(D^k[i][j]=D^{k-1}[i][k]+D^{k-1}[k][j])

/* 邻接矩阵存储 - 多源最短路算法 */
 
bool Floyd( MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex path[][MaxVertexNum] )
{
    Vertex i, j, k;
 
    /* 初始化 */
    for ( i=0; i<Graph->Nv; i++ )
        for( j=0; j<Graph->Nv; j++ ) 
        {
            D[i][j] = Graph->G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }
 
    for( k=0; k<Graph->Nv; k++ )
        for( i=0; i<Graph->Nv; i++ )
            for( j=0; j<Graph->Nv; j++ )
                if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] )
                {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                    if ( i==j && D[i][j]<0 ) /* 若发现负值圈 */
                        return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */
                    path[i][j] = k;
                }
    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */
}

应用实例：哈利波特的考试

题意理解

哈利波特有一门课要考试了，这门课是用魔咒将一种动物变成另一种动物。例如将猫变成老鼠的魔咒是haha，将老鼠变成鱼的魔咒是hehe，把猫变成鱼，魔咒lalala。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如ahah可以将老鼠变成猫。

只允许带一只动物，考察把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？

例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念4个字符；而如果带猫去，则至少需要念6个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。

输入格式

第1行给出两个正整数N (≤100)和M，其中N是考试涉及的动物总数，M是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按1~N编号。随后M行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(≤100)，数字之间用空格分隔。

输出格式

输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔。
如果只带1只动物是不可能完成所有变形要求的，则输出0。如果有若干只动物都可以备选，则输出编号最小的那只。

Sample Input

Sample Output

4 70

解题思路

根据输入样例可以构造图:

利用Floyd算法，将任意两点之间的最小路径计算出来。对于每一个节点，找出从该节点出发最难变的动物需要多少字符。所有节点最难变的节点的最小值即为所求结果，对应的节点为所求节点。

[D= egin{bmatrix} infty & 1 & 70 & 61 & [81] & 51 1 & infty & 71 & 60 & [80] & 50 70 & 71 &infty & 70 & [120] & 80 61 & 60 & [70] & infty & 50 & 60 81 & 80 & [120] & 50 & infty & 60 51 & 50 & [80] & 60 & 60 & infty end{bmatrix} ]

程序框架

完整代码

#include<iostream>
using namespace std;

#define MaxVertexNum 100	/* 最大顶点数设为100 */
#define INFINITY 65535		/* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/
typedef int Vertex;			/* 用顶点下标表示顶点,为整型*/
typedef int WeightType;		/* 边的权值设为整型*/
//typedef char DataType;	/* 顶点存储的数据类型设为字符型*/

/* 边的定义*/
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
	Vertex V1, V2;		/* 有向边<V1, V2> */
	WeightType Weight;	/* 权重*/
};
typedef PtrToENode Edge;

/* 图结点的定义*/
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
	int Nv;	/* 顶点数*/
	int Ne;	/* 边数*/
	WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵*/
//	DataType Data[MaxVertexNum]; /* 存顶点的数据*/
	/* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现*/
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型*/

MGraph CreateGraph(int VertexNum)
{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图*/
	Vertex V, W;
	MGraph Graph;

	Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图*/
	Graph->Nv = VertexNum;
	Graph->Ne = 0;
	/* 初始化邻接矩阵*/
	/* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
	for (V = 0; V<Graph->Nv; V++)
		for (W = 0; W<Graph->Nv; W++)
			Graph->G[V][W] = INFINITY;
	return Graph;
}

void InsertEdge(MGraph Graph, Edge E)
{
	/* 插入边<V1, V2> */
	Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;
	/* 若是无向图，还要插入边<V2, V1> */
	Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}

MGraph BuildGraph()
{
	MGraph Graph;
	Edge E;
//	Vertex V;
	int Nv, i;

	cin>>Nv;					/* 读入顶点个数*/
	Graph = CreateGraph(Nv);	/* 初始化有Nv个顶点但没有边的图*/

	cin>>(Graph->Ne);			/* 读入边数*/
	if (Graph->Ne != 0)			/* 如果有边*/
	{
		E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点*/
		/* 读入边，格式为"起点终点权重"，插入邻接矩阵*/
		for (i = 0; i<Graph->Ne; i++)
		{
			cin>>(E->V1)>>(E->V2)>>(E->Weight);
			/* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改*/
			E->V1--; E->V2--; //起始编号从0开始
			InsertEdge(Graph, E);
		}
	}
	/* 如果顶点有数据的话，读入数据
	for (V = 0; V<Graph->Nv; V++)
		scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));
	*/
	return Graph;
}

void Floyd(MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum])
{
	Vertex i, j, k;
	/* 初始化*/
	for (i = 0; i < Graph->Nv; i++)
		for (j = 0; j < Graph->Nv; j++)
		{
			D[i][j] = Graph->G[i][j];
		}

	for (k = 0; k < Graph->Nv; k++)
		for (i = 0; i < Graph->Nv; i++)
			for (j = 0; j < Graph->Nv; j++)
				if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j])
				{
					D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
					if (i == j && D[i][j] < 0) /* 若发现负值圈*/
						return; /* 不能正确解决，返回错误标记*/
				}
}

WeightType FindMaxDist(WeightType D[][MaxVertexNum],
	Vertex i, int N)
{
	WeightType MaxDist;
	Vertex j;
	MaxDist = 0;
	for (j = 0; j<N; j++) /* 找出i到其他动物j的最长距离*/
		if (i != j && D[i][j]>MaxDist)
			MaxDist = D[i][j];
	return MaxDist;
}

void FindAnimal(MGraph Graph)
{
	WeightType D[MaxVertexNum][MaxVertexNum], MaxDist, MinDist;
	Vertex Animal, i;

	Floyd(Graph, D);
	
	MinDist = INFINITY;
	for (i = 0; i<Graph->Nv; i++)
	{
		MaxDist = FindMaxDist(D, i, Graph->Nv);
		if (MaxDist == INFINITY)/* 说明有从i无法变出的动物*/
		{
			cout<<0<<endl;
			return;
		}
		if (MinDist > MaxDist)	/* 找到最长距离更小的动物*/
		{
			MinDist = MaxDist;	/*更新距离*/
			Animal = i + 1;		/*记录编号*/
		}
	}
	cout<<Animal<<" "<<MinDist<<endl;
}

int main()
{
	MGraph G = BuildGraph();
	FindAnimal(G);
	return 0;
}

以上是关于浙大《数据结构》第七章：图(中)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

《高等数学第七版》《线性代数(第六版)》《概率论与数理统计(浙大四版)》全套考研教材及解析PDF