环形区间DP

Posted 2021-03-02 jjl0229

区间DP的一般思考方式是：先枚举长度，再枚举开头和结尾，再枚举中间的分割点
环形区间DP一般是把环展开成链后复制成两倍，再做线性的区间DP

1068. 环形石子合并

将 n 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。
请编写一个程序，读入堆数 n 及每堆的石子数，并进行如下计算：
选择一种合并石子的方案，使得做 n?1 次合并得分总和最大。
选择一种合并石子的方案，使得做 n?1 次合并得分总和最小。
输入格式
第一行包含整数 n，表示共有 n 堆石子。
第二行包含 n 个整数，分别表示每堆石子的数量。
输出格式
输出共两行：
第一行为合并得分总和最小值，
第二行为合并得分总和最大值。
数据范围
1≤n≤200
输入样例：
4
4 5 9 4
输出样例：
43
54

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=401;
int w[N],f[N][N],g[N][N],sum[N];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    memset(g,-0x3f,sizeof g);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        cin>>w[i];
        f[i][i]=g[i][i]=g[i+n][i+n]=f[i+n][i+n]=0;
        w[i+n]=w[i];
    }
    for(int i=1;i<=2*n;++i) sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    for(int len=2;len<=n;++len){
        for(int st=1;st+len-1<=2*n;++st){
            int ed=st+len-1;
            for(int k=st;k<=ed;++k){
                f[st][ed]=min(f[st][ed],f[st][k]+f[k+1][ed]+sum[ed]-sum[st-1]);
                g[st][ed]=max(g[st][ed],g[st][k]+g[k+1][ed]+sum[ed]-sum[st-1]);
            }
        }
    }
    int ans1=0x3f3f3f3f,ans2=-0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ans1=min(ans1,f[i][i+n-1]);
        ans2=max(ans2,g[i][i+n-1]);
    }
    cout<<ans1<<endl<<ans2<<endl;
    return 0;
}

320. 能量项链

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链，在项链上有 N 颗能量珠。
能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。
并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。
因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。
如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 mrn（Mars单位），新产生的珠子的头标记为 m，尾标记为 n。
需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。
显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。
我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则
第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=1023=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为((4⊕1)⊕2)⊕3）= 1023+1035+10510=710。
输入格式
输入的第一行是一个正整数 N，表示项链上珠子的个数。
第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000，第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记，当i<N时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i+1 颗珠子的头标记，第 N 颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出格式
输出只有一行，是一个正整数 E，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
数据范围
4≤N≤100,
1≤E≤2.1?109
输入样例：
4
2 3 5 10
输出样例：
710

思路：对于样例((2，3) (3，5) (5，10) (10，2))，可以模拟成(2，3，5，10，2)，即变成一个n+1长度的链，合并的最小区间长度是3，被合并的最小区间是2，答案是(max(f[i][i+n]))，以及在有一个交集的区间上做合并，于是环形问题就模拟成(2，3，5，10，2，3，5，10)，状态转移方程(f[l,r]=max(f[l][k]+f[k][r]+w[l]*w[k]*w[r]),k>l,k<r)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=210;
int w[N],f[N][N];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>w[i],w[i+n]=w[i];
    for(int len=3;len<=n+1;++len){
        for(int l=1;l+len-1<=n+n;++l){
            int r=l+len-1;
            for(int k=l+1;k<r;++k){
                f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k][r]+w[l]*w[k]*w[r]);
            }
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        res=max(res,f[i][i+n]);
    }cout<<res<<endl;
    return 0;
}