HFUT.计算方法 - Chp6 数值积分

Posted 2021-03-02 litun

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了HFUT.计算方法 - Chp6 数值积分相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

HFUT.计算方法（一） - Chp6 数值积分(二)

HFUT.计算方法（一） - Chp6 数值积分(二)

chp6.4 Newton-Cotes求积公式

Simpson公式

[int_{a}^{b} f(x) d x approx frac{b-a}{6}left[f(a)+4 fleft(frac{a+b}{2} ight)+f(b) ight]=S ag{1} ]

Simpson公式或抛物线公式，记为(S).

容易证明Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立，即

[int_{a}^{b} p_{3}(x) d x=frac{b-a}{6}left[p_{3}(a)+4 p_{3}left(frac{a+b}{2} ight)+p_{3}(b) ight] ag{2} ]

求积误差：

构造三次多项式，使满足：

[H_3(b) = f(b), H_{3}(b)=f(b), H_{3}left(frac{a+b}{2} ight)=fleft(frac{a+b}{2} ight), H_{3}^{prime}left(frac{a+b}{2} ight)=f^{prime}left(frac{a+b}{2} ight) ]

[f(x)-H_{3}(x)=frac{f^{(4)}left(xi_{x} ight)}{4 !}(x-a)left(x-frac{a+b}{2} ight)^{2}(x-b), quad xi_{x} in(a, b) ag{3} ]

? 有：

? $$egin{aligned}
R[f] &=int_{a}^{b} f(x) d x-frac{b-a}{6}left[f(a)+4 fleft(frac{a+b}{2} ight)+f(b) ight]
&=int_{a}^{b} f(x) d x-frac{b-a}{6}left[H_{3}(a)+4 H_{3}left(frac{a+b}{2} ight)+H_{3}(b) ight]
&=int_{a}^{b} f(x) d x-int_{a}^{b} H_{3}(x) d x
&=frac{1}{4 !} int_{a}^{b} f^{{(4)}left(xi_{x}
ight)(x-a)left(x-frac{a+b}{2}
ight)}{2}(x-b) d x
&=frac{f^{(4)}(eta)}{4 !} int_{a}^{{b}(x-a)left(x-frac{a+b}{2}
ight)}{2}(x-b) d x
&=-frac{(b-a)^{5}}{2880} f^{(4)}(eta), quad eta in(a, b)
end{aligned}$$

Newton-Cotes公式

Newton-Cotes公式的截断误差

[R[f]=left{egin{array}{l} frac{f^{(n+1)}(eta)}{(n+1) !} int_{a}^{b} omega_{n+1}(x) d x quad(n为奇数) quadquadquadquadquadquadquadquadquadquadquadquadquadquadquad etain(a, b)frac{f^{(n+2)}(eta)}{(n+2) !} int_{a}^{b} x omega_{n+1}(x) d x quad(n为偶数) end{array} ight.]
代数精度
- n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度
- n是偶数时 Newton-Cotes公式具有n+1次代数精度。