Codeforces 631 D. Dreamoon Likes Sequences 位运算^ 组合数 递推

Posted 2021-03-02 mzrong

https://codeforces.com/contest/1330/problem/D

给出d,m, 找到一个a数组，满足以下要求：

a数组的长度为n,n≥1;

1≤a1<a2<?<an≤d；

定义一个数组b：b1=a1, ∀i>1,bi=bi−1⊕ai ，并且b1<b2<?<bn−1<bn；

求满足条件的a数组的个数并模m；

人话：求一个a数组满足递增，并且异或前缀和也递增 ，求出a数组个数mod m。

太菜了，不会，看了很多题解才会的，这里总结一下：

参考官方题解 https://codeforces.com/blog/entry/75559

首先思考数组递增并且前缀异或和也递增(异或运算：不进位加法 1^1=0,1^0=1,0^0=0)，那么就必须满足后面一个数二进制的最高位1的位置大于前面一个数的二进制的最高位1的位置，我们来看下为什么，假如最高位和前一个相同，那么前缀异或和最高位的1就消掉了，肯定会变小，最高位比前一个低，那这个数就比前一个数小了，不满足数组递增，所以要比前一个数的最高位高。

每个数1的最高位 h(ai)=v, v代表ai的最高位，例如：h(1)=0,h(2)=h(3)=1, and h(4)=h(7)=2.

找出每个最高位的个数，例如 h(ai)=v，ai的最高位为v，找到最高位为v的区间，[2^v,2^(v+1)−1] ,还要注意一个边界问题，不能大于d，所以为：[2^v,min(2^(v+1)−1,d)],那么个数就为 min(2^(v+1)−1,d)-2^v+1，最后再加上不选的一种情况，最后为min(2^(v+1)−1,d)-2^v+1+1。然后分组，把最高位相同的分在一起，每一次都从一个组里面选择一个数或者不选，来组成a数组，就是把每个最高位的个数都乘起来（不选的情况我把它算进最高位的个数里面了），再减掉全部不选的情况，就好了。

例如：d=6,最高位为0的有1个，那么我们有两种选择，选1或者不选；最高位为1的有2个，那么我们有三种选择，选2或者3或者不选，最高位为2的有3个，那么我们有四种选择，选4或者5或者6或者不选；然后组合在一起，里面有全部不选的一种情况，所以最后结果要减1，即：2*3*4-1=23.

 写得很啰嗦，因为我看了好久才看懂 ~~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
//typedef __int128 LL;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll d,m;
        scanf("%lld%lld",&d,&m);
        ll ans=1;
        for(int i=0;i<=32;i++)
        {
            if(d<(1<<i))break;
            ans=(ans*(min(d,(1ll<<(i+1))-1)-(1<<i)+1+1))%m;
        }
        ans--;
        if(ans<0)ans+=m;
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

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 还有一种递推的方法，参考博客：https://www.cnblogs.com/AaronChang/p/12635428.html

用一个cnt[i]数组来记录每个最高位的个数，每次选择了一个数之后就从后面的数中选择；

dp[i]表示二进制的最高位1在前i位（包含第i位）的方案数之和，dp[i]=dp[i-1]+dp[i-1]*cnt[i]+cnt[i] ,（只单独取cnt[i]也可以）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
//typedef __int128 LL;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll dp[40],cnt[40];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll d,m;
        scanf("%lld%lld",&d,&m);
        ll a=d,idx=0,t=1;
        while(a)
        {
            cnt[++idx]=min(d-(t-1),t);//下标从1开始，方便dp数组
            t<<=1;
            a>>=1;
        }
        for(int i=1;i<=idx;i++)dp[i]=((dp[i-1]+(dp[i-1]*cnt[i])%m)%m+cnt[i])%m;
        printf("%lld
",dp[idx]);
    }
    return 0;
}

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