Master of Sequence（数学+二分+树状数组）

Posted 2021-03-01 hznudreamer

题意：给两个长度为n的序列(a1,a2......,an)、(b1,b2......bn)和m个询问以及一个整数k，找出满足k <= S(t) = Σ(i=1 to n) ((t-bi) / ai)向下取整  的最小t。考虑函数的单调性此题可以二分，对于该式子可以证明 ((t-bi) / ai)向下取整的值就是 (t/ai)向下取整的值减去 (bi/ai)向下取整的值 如果 (t%ai) - (bi%ai) 的值比0小，说明还得到前面算出来的(t/ai)的值那里拿一个1来减， 所以算出来的值应该减1。 考虑a的值小于1000，用1000个树状数组维护每个(bi % ai)的前缀和，用一个大小为1000的数组nums维护每个ai出现的次数,用一个变量sum记录Σ(i=1 to n)bi/ai的和，则对于每个t，S(t)可以通过以下方式计算得到：i从for 1到1000 记录(t/i) * nums[ai]的值，这个值减去sum得到的是未经过取余处理的值，然后i 从1for到1000的过程中可以减去 (bi %ai)比(t%i)大的个数，这个数可以通过树状数组查询(getsum(t%ai))表示查找<=t%ai的数 然后用总个数nums[ai]减去它得到。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn = 1e3+10;
 5 const int maxm = 1e5+10;
 6 int t,n,m,op;
 7 ll x,y,k;
 8 ll a[maxm],b[maxm];
 9 int nums[maxn];
10 int lowbit(int x) {return x&(-x);}
11 struct tree{
12     int c[maxn];
13     inline void update(int x,int y){
14         x++;
15         for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i))
16         c[i] += y;
17     }
18     inline int getsum(int x){
19            int ans = 0;x++;
20            for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
21            ans += c[i];
22         return ans;
23     }
24 }node[maxn];
25 bool check(ll t){
26     ll tmp = 0;
27     for (int i = 1; i <= 1000; i++){
28         tmp += (t / i) * nums[i] - (nums[i] - node[i].getsum(t % i));
29         if (tmp >= k + 1000 - i) return true;
30     }
31     return tmp >= k;
32 }
33 int main(){
34     scanf("%d",&t);
35     while (t--){
36         ll sum = 0;
37         memset(nums, 0, sizeof nums);
38         memset(node, 0, sizeof node);        
39         scanf("%d%d",&n,&m);
40         for (int i = 1; i <= n; i++){
41             scanf("%lld",&a[i]);
42             nums[a[i]]++;
43         }
44         for (int i = 1; i <= n; i++){
45             scanf("%lld",&b[i]);
46             sum += b[i] / a[i];
47             node[a[i]].update(b[i]%a[i],1);
48         }
49         while (m--){
50             scanf("%d",&op);
51             if (op == 1){
52                 scanf("%lld%lld",&x,&y);
53                 nums[a[x]]--,nums[y]++;
54                 node[a[x]].update(b[x] % a[x], -1);
55                 node[y].update(b[x] % y, 1);
56                 sum = sum - b[x] / a[x] + b[x] / y;
57                 a[x] = y;
58             }
59             else if (op == 2){
60                 scanf("%lld%lld",&x,&y);
61                 node[a[x]].update(b[x]%a[x], -1);
62                 node[a[x]].update(y%a[x], 1);
63                 sum = sum - b[x] / a[x] + y / a[x];
64                 b[x] = y;
65             }
66             else{
67                 scanf("%lld",&k);
68                 ll l = 0, r = 1e12, ans;
69                 k += sum;
70                 while (l <= r){
71                     ll mid = (l + r) >> 1;
72                     if (check(mid)) {
73                         ans = mid;
74                         r = mid-1;
75                     }
76                     else l = mid + 1;
77                 }
78                 printf("%lld
",ans);
79             }
80         }
81     }
82     return 0;
83 }