题目分享M

Posted 2021-03-01 lin4xu

题意：

 

 其实就是找到AB+min(AC,BC)的最大值

分析：刚看到这道题，很容易往AB为树的直径方向上去想，C就可以遍历每个点，最后求出对于每个点为C时的最大值

那AB到底是不是树的直径或者为什么AB是树的直径呢？

（下面是我自己yy的证明方法，可能有不严谨甚至有错误，望指正）

所有的ABC都可以用这个模型来代替

 

 也就是在AB这条链上会长出C这样一条分支

我把AB与C链的交点叫做D

 

 对于BD CD AD 这三段，将其中较长的两条作为“AB链”，最短那条作为“C链”会更优

证明：设AD=a,BD=b,CD=c

若以ab为主链，结果就是 a+b+c+min(a,b)

若以ac为主链，结果就是 a+b+c+min(a,c)

若以bc为主链，结果就是 a+b+c+min(b,c)

显然拿最大的两条作为主链会更优，我们假设AD>=BD>=CD

那么我们就可以获得一个建立在这个基础上的结论：CD<=BD<=AD<=(AD+BD)/2=AB/2

也就是CD<=AB/2，还有结果AD+BD+CD+BD<=2AB

然后就可以正式开始这道题的证明了：

如果我们设AB为当前树的直径，如果A‘B‘作为直径更优，分两类讨论

 

如果A‘B‘与AB不相交，那么A‘B‘<AB/2，那以A‘B‘为主链的结果<=2A‘B‘<AB

而以AB为主链的结果显然大于AB

所以不成立

 

如果A‘B‘与AB相交，这里还有重合与不重合的讨论，我们先考虑不重合的，令他们的交点为E（这里也遵循AE>=BE的原则）

 

 能得到EB‘，A‘E<=BE，如果EB‘,A‘E>BE那E‘B，A‘E就会代替BE成为最长链，那就会变成重合的情况了

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！！！！注意   A‘B‘链中的D‘点永远不可能在AB链中，这条规则在任何条件下都适用，如果这里没想明白，后面很可能自己证着证着就因为画图改变初始规则导致证不下去（亲身体会）

！！！！因为如果D‘点与D点重合，A‘D比AD 要短，B‘D比BD 要短，A‘B‘永远不可能超越AB，如果A‘D比AD长或者B‘D比BD 长的话显然AB就不是最长链了，A‘B或AB‘就成最长链了

！！！！（这里我认为是我证这个路上最大的绊脚石）

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在我现在无论C‘点在哪，我的C点都去与C‘点重合，再根据我们命名的规则把D,D‘给标记出来

 

 以A‘B‘为主链的结果就是A‘B‘+C‘D‘+B‘D‘=A‘E+ED‘+D‘B‘+C‘D‘+B‘D‘

以AB为主链的结果就是AB+CD+BD=AE+EB+CD‘+D‘E+BE

两边作差就会发现

AB-A‘B‘=(AE+BE*2)-(A‘E+B‘D*2） 

而我们的B‘D‘<=B‘D<=BD,A‘E<=AE

所以A‘B‘<=AB

 

然后就是AB与A‘B‘重合的可能

 

 

 

 

 这里还是无论C‘点在哪，C点都与他重合

这里的证明方法其实跟AB与A‘B‘相交的证明方法类似，这里就不再证一遍了

！！！！！唯一需要再强调一遍的就是一定不要把A‘与A 或者B‘与B标反了

！！！！！别突然想到一组数据，自己手玩发现不符合这个规律，结果是A‘D比AD都要长了

 

最后再回归到这个题上

求出最长链之后，处理出最长链端点到每个节点的距离，把每个节点当做C计算一遍，取最大值就可以了

代码：

 

 

 

 

 

 ps：我主函数写的稍微有些图方便，比如都是k，可能理解起来比较麻烦，不过这题证出是直径之后就很简单了，稍微看一下代码的流程绝对能写出来，不需要理解我这种写法