1976年第5届美国数学竞赛题

Posted 2021-03-01 lau1997

一个4X7的方格形棋盘，要给它的每个方格涂色：颜色或黑或白。试证明:对于任何一种涂色方式，总有一个矩形，其顶点所在的四格同色。

 

 

 

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

 

A    B  

 不妨让图A为所述棋盘，从上到下为第1 - 4 行，从左到右为第1 - 7列。易知：任意一行至少有4个方格的颜色相同；至少存在两行满足：这两行占多数的颜色相同。

不妨让这两行为1、2行，颜色为黑色，假设不存在满足题意的情况。那么这两行的黑色格子数只能为4，并且只有两个属于同一列，不妨让其所在位置如图B所示（白色格子用红色标注）。再分析剩下两行的情况，要想不满足题意，那么剩下两行的多数颜色都不能是黑色，可以用反证法证明，假设存在一行多数颜色为黑色，不妨是第3行，即第3行的黑色格子数大于等于4，如果不存在满足题意的情况，那么第三行的第1-4列最多放1个黑的，4-7列最多放一个黑的，第三行能放的黑格子最多为2个<4个，矛盾，所以所以剩下两行的多数颜色都不能是黑色，即剩余两行的多数颜色必须是白色，即剩余两行的白色格子数大于等于4。继续对第三行进行分析，如果不存在满足题意的情况，那么第三行的第1-3列最多放1个白的，5-7列最多放一个白的，第三行能放的白格子最多为3个<4个，矛盾，所以第三行的多数颜色也不能白色。也就是说如果不存在满足题意的情况，第三行的多数颜色不能是白色也不能是黑色，这显然是做不到的，所以肯定存在满足题意的情况。即对于任何一种涂色方式，总有一个矩形，其顶点所在的四格同色。