题解数球

Posted 2021-03-01 5ab-juruo

题目描述

小 A 有 (n) 个球，编号分别为 (1) 到 (n)，小 A 每次都会从 (n) 个球中取出若干个球，至少取一个，至多取 (n) 个，每次取完再放回去，取出的球需要满足以下两个条件：

1. 每次取出的球的个数两两不同。
2. 每次取出的球的集合两两不包含。

包含是指，对于两次取球，取的数目少的那次取球的所有球都出现在取的数目多的那次取球中。

例如 ({1,2}) 和 ({1,2,4})，({1,2}) 和 ({2,3}) 则不算作包含。

而小 A 现在突然想知道他最多能进行多少次这样的操作，并希望你能给出具体的取球方案。

输入格式

一个整数 (n)。

输出格式

第一行一个数 (k)，表示能进行的最多次数。

接下来 (k) 行，每行第一个整数 (p)，表示这次取的球数；

接下来 (p) 个数表示这次取的球的编号，编号只需要不同，不需要按照顺序输出，

计分标准

本题设有 Special Judge。

对于每个测试点，每组数据第一行正确可以获得 (20\%) 的分，如果第一行和方案均正确获得 (100\%) 的分。

数据范围

评测时间限制 (1000 mathrm{ms})，空间限制 (512 mathrm{MiB})。

• 对于 (30\%) 的数据，(nle 7)；
• 对于 (50\%) 的数据，(nle 20)；
• 对于 (70\%) 的数据，(nle 100)；
• 对于 (100\%) 的数据，(4le nle 1000)。

分析

这道题是一道典型的组合类结论题，需要计算上限和构造。

由于部分分没有什么可讲的，所以我们直接去考虑满分算法。

(100 mathtt{pts})

遇到这种组合题，首先考虑答案上界。

一个显而易见的结论是，不可能有超过 (n) 个集合。（否则根据抽屉原理，必有两个集合大小相同）

一个更显而易见的结论是，不可能存在大小为 (n) 的集合。（废话，否则剩下的所有集合都是这个集合的子集）

一个不是那么显然的结论是，大小为 (1) 的集合与大小为 (n-1) 的集合不共存。为什么？

根据题意，显然如果能够共存，一定长这个样子：

那么问题来了：大小为 (2)（或者更大的）的怎么办？

首先，不可能在 (1) 这一边，这样就会包含 (1)。

但是，又不能不在 (1) 这一边，不然就会被 (n-1) 包含。矛盾。

（左右为♂难）

所以，理论最大答案就是 (n-2)。

---

接下来我们考虑构造，这才是这道题真正的难点。

首先，我们不妨先来试一下。

（注：接下来的构造过程基于 (1) 到 (n-2) 的集合构造，如果使用 (2) 到 (n-1) 也会得到类似的结论。构造方式不止这一种，还有很多种方式可以做到）

比如对于一个大小为 (n) 的球集合，我们要先留出一个位子给 (1) 用，再放上 (n-2) 和 (2)，就像这样：

（易证这是唯一可能的情况，不包括顺序的打乱）

接下来我们试图放上 (3)，发现条件与 (2) 类似，不要放在 (1) 上，也不要全部在 (n-2) 上。

接下来所有的集合都有类似的规则。

那么，我们是不是可以对这个大集合做一些操作，使得这些规则消除呢？

我们发现，除了 (1) 和 (n-2) 以外，其余所有的集合都必须有第二个元素。

同时，(1) 也是一个不必要的存在，可以将其视为空无，或者屏蔽。

所以，我们对大集合做出这样的操作——把 (1)，(2) 两个元素删掉，同时干掉 (1) 和 (n-2) 这两个集合。

我们惊奇地发现，这样的新集合就是 (n-2) 时的问题。

不懂？看图就知道了：

于是，我们就可以递归求解了！

当然，我们也可以稍微动动脑筋，变成一个简单的循环问题。具体实现见代码。

Code

我们只要稍微转换一下就可以降低实现难度，更快地解决问题了。

我们可以记录一个数组 sta[i]，来记录当前递归时接下来所有集合都要加进去的东西。

对于上一张图的每一层，先根据 sta[i] 输出这一层的两个集合，再往 sta[i] 里面加入这一层要求接下来所有集合必须包含的东西。

比如说，处理第一层时，那个剩下来的元素（图中第二个）就会被加入这个数组，接下来每一个集合都必须有这个元素。

当然，这道题的边界也是要稍微留留神的。尤其是奇偶性，如果是奇数的话就要再多输出一个集合。

为了加快速度，5ab 写了一个快写，因为这道题的输出量可能会到 (10^6)。

// @author 5ab

#include <cstdio>
using namespace std;

const int max_n = 1000;

// 不要那么在意变量名辣……
int dk[max_n>>1] = {};

void _write(int x)
{
	if (x > 9)
		_write(x / 10);
	
	putchar(x % 10 + ‘0‘);
}

inline void write(int x)
{
	if (x < 0)
	{
		putchar(‘-‘);
		x = -x;
	}
	
	_write(x);
}

int main()
{
	int n;
	
	scanf("%d", &n);
	write(n - 2);
	putchar(‘
‘);
	
	for (int i = 0; i < n / 2 - 1; i++)
	{
		write(n - i - 2);
		putchar(‘ ‘);
		
		for (int j = 0; j < i; j++)
		{
			write(dk[j]);
			putchar(‘ ‘);
		}
		
		for (int j = 2 * i + 2; j < n; j++)
		{
			write(j + 1);
			putchar(‘ ‘);
		}
		
		putchar(‘
‘);
		
		write(i + 1);
		putchar(‘ ‘);
		dk[i] = i * 2 + 2;
		
		for (int j = 0; j < i; j++)
		{
			write(dk[j]);
			putchar(‘ ‘);
		}
		write(dk[i] - 1);
		
		putchar(‘
‘);
	}
	
	if (n & 1)
	{
		write(n / 2);
		putchar(‘ ‘);
		
		for (int i = 2; i <= n; i += 2)
		{
			write(i);
			putchar(‘ ‘);
		}
		
		putchar(‘
‘);
	}
	
	return 0;
}

后记

这道题当时在考场上时只想到了上界，却不知道构造方法。

后来看了解题报告也是不知所云。

最后，经过一番摸索和试验，终于拼凑出一个做法，才有了这一篇题解。

有时，一些结论需要试验才能得出。试验一直是结论的试金石。要敢于试验，才能敢于下结论，最后证明。