动态规划之机器人行走问题

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划之机器人行走问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1. 问题描述:机器人一次可以走1m,2m或3m,那么机器人走n米有多少种走法?

2. 问题分析:

  用a(n)来表示机器人走n米的走法总数,

  那么,n<=0, a(n)=0;

  n==1, a(n)=1;

  n==2, a(n)=2: 1+1, 2;

  n==3, a(n)=4: 1+1+1, 1+2, 2+1, 3;

  但如此枚举下去不是办法,那么我们换个角度思考: 机器人走完全程的前一次运动时(注:机器人一次可以走1m,2m或3m),它离终点还有多远:

  1. 还有1m, 进行一次走1m的运动就能到达终点。

  2. 还有2m, 进行一次走2m的运动就能到达终点。

  3. 还有3m, 进行一次走3m的运动就能到达终点。

  这样一来的话,我们可以知道:a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n+3), 即走n米的走法总数 = 走n-1米的走法总数 + 走n-2米的走法总数 + 走n-3米的走法总数

 

C语言实现:(动态规划——自底向上(迭代法))

// Hello, i‘m 九院干干

/*
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + 关键点:a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3) + 此版本借助了辅助n个空间,说明该算法还 + 可以进化 + 时间复杂度O(n), 空间复杂度O(n) ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define size 100 int RobotWalk(int n,int a[]) { int i,x; if(n<=0) return 0; if(n==1 ||n==2) return n; if(n==3) return 4; a[1] = 1; a[2] = 2; a[3] = 4; for(i=4; i<=n; i++) a[i] = a[i-1] + a[i-2] + a[i-3]; // 计算从小到大向前推进,计算a[4]->a[5]->...->a[n] return a[n]; } void main() { int n, KindSum; int a[size]; printf("请输入机器人要走的路程总长度:"); scanf("%d",&n); KindSum = RobotWalk(n,a); printf("机器人的走法有%d种 ", KindSum); system("pause"); }

运行结果:

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进一步优化:(上面的算法的空间复杂度为O(n),改进后,只需3个辅助空间) 

 C语言实现:

/*
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+ 这个算法版本就是利用3个存储单元,存储计算米数
+ 增加一个长度的三个历史走法总数。
+ 
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/



#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int RobotWalk(int n)
{
    int i, count, temp;
    int a[3] = {1,2,4};
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1) return a[0];
    if(n==2) return a[1];
    if(n==3) return a[2];

    count= 0;

/*
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+下面这个for循环是关键,count用来计数,以使数组a中每次只更新最老的历史数据,
+ 即最新的数据替换最老的数据,例如最先更新最老数据a[0],a[0]成为最新数据;之后
+ 更新最老数据a[1], a[1]成为最新数据;然后更新最老数据a[2],a[2]成为最新数据。
+ 此过程不断循环,直到计算出走n米的走法总数。
+
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/


    for(i=4; i<=n; i++)
    {
        temp = a[2] + a[1] + a[0];
        a[count] = temp;
        count = (count+1)%3;   //循环更新count,使其取值为{0,1,2},对应于数组a的下标
    }
    return temp;
}

void main()
{
    int n, KindSum;
    printf("请输入机器人要走的路程总长度:");
    scanf("%d",&n);
    KindSum = RobotWalk(n);
    printf("机器人的走法有%d种
", KindSum);
    system("pause");
}

 

运行结果:

技术图片

 

除了运用自底向上的思维,当然还可以使用自顶向下的解法。

 

C语言实现:(动态规划——自顶向下(递归的方式))

// Hello, i‘m 九院干干

/*
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + 该算法是采用递归的思想,但需要记录计算过的子问题,以避免重复计算子问题。 + 因此,若是碰到曾经计算过得问题就直接返回其解。 + +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define size 1000 int RobotWalk(int n, int a[]) { if(a[n]!=0) return a[n]; //返回计算过的子问题的解 if(n<=0) return 0; if(n==1 || n==2) return n; if(n==3) return 4; else { a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a); // 递归实现 a[n] = a[n-1]+a[n-2]+a[n-3] return a[n]; } } void main() { int n, KindSum; int a[size] = {0}; //对数组元素初始化为0 printf("请输入机器人要走的路程总长度:"); scanf("%d",&n); KindSum = RobotWalk(n,a); printf("机器人的走法有%d种 ", KindSum); system("pause"); }

 

运行结果:

技术图片

 

 

Python实现:(自底向上 / 迭代法):

# Hello, i‘m 九院干干

#
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ # 此算法的辅助空间为3,则空间复杂度可以看成O(1) # 自底向上(迭代法) #++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ def RobotWalk(n): a= [1,2,4] if n<=0 : return 0 if n==1 or n==2 : return n if n==3 : return 4 else: count = 0 for i in range(4,n+1): temp = a[2] + a[1] +a[0] a[count] = temp count = (count+1)%3 return a[count-1] if __name__ == __main__: n = int(input("请输入机器人要行走的总路程:")) KindSum = RobotWalk(n) print("机器人的走%d米的走法总数为:%d" %(n,KindSum))

运行结果:

技术图片

 

Python实现:(动态规划——自顶向下(递归的方式))

 

def RobotWalk(n,a):
    if a[n]!=0 : return a[n]
    if n<=0: return 0
    if n==1 or n==2: return n
    if n==3: return 4
    else:
        for i in range(4,n+1):
            a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a)

        return a[n]


if __name__ == __main__:

    n = int(input("请输入机器人要行走的总路程:"))
    a = (n+1)*[0]
    KindSum = RobotWalk(n,a)
    print("机器人的走%d米的走法总数为:%d" %(n,KindSum))

 

运行结果:

技术图片

 

以上是关于动态规划之机器人行走问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

Leetcode之动态规划(DP)专题-63. 不同路径 II(Unique Paths II)

Leetcode之动态规划(DP)专题-62. 不同路径(Unique Paths)

动态规划之独立任务最优调度

2017清北学堂集训笔记——动态规划Part2

算法动态规划 ⑤ ( LeetCode 63.不同路径 II | 问题分析 | 动态规划算法设计 | 代码示例 )

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