动态规划之机器人行走问题
Posted zzg-gangan
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划之机器人行走问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
1. 问题描述:机器人一次可以走1m,2m或3m,那么机器人走n米有多少种走法?
2. 问题分析:
用a(n)来表示机器人走n米的走法总数,
那么,n<=0, a(n)=0;
n==1, a(n)=1;
n==2, a(n)=2: 1+1, 2;
n==3, a(n)=4: 1+1+1, 1+2, 2+1, 3;
但如此枚举下去不是办法,那么我们换个角度思考: 机器人走完全程的前一次运动时(注:机器人一次可以走1m,2m或3m),它离终点还有多远:
1. 还有1m, 进行一次走1m的运动就能到达终点。
2. 还有2m, 进行一次走2m的运动就能到达终点。
3. 还有3m, 进行一次走3m的运动就能到达终点。
这样一来的话,我们可以知道:a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n+3), 即走n米的走法总数 = 走n-1米的走法总数 + 走n-2米的走法总数 + 走n-3米的走法总数
C语言实现:(动态规划——自底向上(迭代法))
// Hello, i‘m 九院干干
/* ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + 关键点:a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3) + 此版本借助了辅助n个空间,说明该算法还 + 可以进化 + 时间复杂度O(n), 空间复杂度O(n) ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define size 100 int RobotWalk(int n,int a[]) { int i,x; if(n<=0) return 0; if(n==1 ||n==2) return n; if(n==3) return 4; a[1] = 1; a[2] = 2; a[3] = 4; for(i=4; i<=n; i++) a[i] = a[i-1] + a[i-2] + a[i-3]; // 计算从小到大向前推进,计算a[4]->a[5]->...->a[n] return a[n]; } void main() { int n, KindSum; int a[size]; printf("请输入机器人要走的路程总长度:"); scanf("%d",&n); KindSum = RobotWalk(n,a); printf("机器人的走法有%d种 ", KindSum); system("pause"); }
运行结果:
进一步优化:(上面的算法的空间复杂度为O(n),改进后,只需3个辅助空间)
C语言实现:
/* +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + 这个算法版本就是利用3个存储单元,存储计算米数 + 增加一个长度的三个历史走法总数。 + +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int RobotWalk(int n) { int i, count, temp; int a[3] = {1,2,4}; if(n<=0) return 0; if(n==1) return a[0]; if(n==2) return a[1]; if(n==3) return a[2]; count= 0; /* ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + +下面这个for循环是关键,count用来计数,以使数组a中每次只更新最老的历史数据, + 即最新的数据替换最老的数据,例如最先更新最老数据a[0],a[0]成为最新数据;之后 + 更新最老数据a[1], a[1]成为最新数据;然后更新最老数据a[2],a[2]成为最新数据。 + 此过程不断循环,直到计算出走n米的走法总数。 + ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ for(i=4; i<=n; i++) { temp = a[2] + a[1] + a[0]; a[count] = temp; count = (count+1)%3; //循环更新count,使其取值为{0,1,2},对应于数组a的下标 } return temp; } void main() { int n, KindSum; printf("请输入机器人要走的路程总长度:"); scanf("%d",&n); KindSum = RobotWalk(n); printf("机器人的走法有%d种 ", KindSum); system("pause"); }
运行结果:
除了运用自底向上的思维,当然还可以使用自顶向下的解法。
C语言实现:(动态规划——自顶向下(递归的方式))
// Hello, i‘m 九院干干
/* +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + 该算法是采用递归的思想,但需要记录计算过的子问题,以避免重复计算子问题。 + 因此,若是碰到曾经计算过得问题就直接返回其解。 + +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define size 1000 int RobotWalk(int n, int a[]) { if(a[n]!=0) return a[n]; //返回计算过的子问题的解 if(n<=0) return 0; if(n==1 || n==2) return n; if(n==3) return 4; else { a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a); // 递归实现 a[n] = a[n-1]+a[n-2]+a[n-3] return a[n]; } } void main() { int n, KindSum; int a[size] = {0}; //对数组元素初始化为0 printf("请输入机器人要走的路程总长度:"); scanf("%d",&n); KindSum = RobotWalk(n,a); printf("机器人的走法有%d种 ", KindSum); system("pause"); }
运行结果:
Python实现:(自底向上 / 迭代法):
# Hello, i‘m 九院干干
#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ # 此算法的辅助空间为3,则空间复杂度可以看成O(1) # 自底向上(迭代法) #++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ def RobotWalk(n): a= [1,2,4] if n<=0 : return 0 if n==1 or n==2 : return n if n==3 : return 4 else: count = 0 for i in range(4,n+1): temp = a[2] + a[1] +a[0] a[count] = temp count = (count+1)%3 return a[count-1] if __name__ == ‘__main__‘: n = int(input("请输入机器人要行走的总路程:")) KindSum = RobotWalk(n) print("机器人的走%d米的走法总数为:%d" %(n,KindSum))
运行结果:
Python实现:(动态规划——自顶向下(递归的方式))
def RobotWalk(n,a): if a[n]!=0 : return a[n] if n<=0: return 0 if n==1 or n==2: return n if n==3: return 4 else: for i in range(4,n+1): a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a) return a[n] if __name__ == ‘__main__‘: n = int(input("请输入机器人要行走的总路程:")) a = (n+1)*[0] KindSum = RobotWalk(n,a) print("机器人的走%d米的走法总数为:%d" %(n,KindSum))
运行结果:
以上是关于动态规划之机器人行走问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
Leetcode之动态规划(DP)专题-63. 不同路径 II(Unique Paths II)
Leetcode之动态规划(DP)专题-62. 不同路径(Unique Paths)