动态规划之机器人行走问题

Posted 2021-03-01 zzg-gangan

1. 问题描述：机器人一次可以走1m，2m或3m，那么机器人走n米有多少种走法？

2. 问题分析：

　　用a(n)来表示机器人走n米的走法总数，

　　那么，n<=0, a(n)=0;

　　n==1, a(n)=1;

　　n==2, a(n)=2: 1+1, 2;

　　n==3, a(n)=4: 1+1+1, 1+2, 2+1, 3;

　　但如此枚举下去不是办法，那么我们换个角度思考： 机器人走完全程的前一次运动时（注：机器人一次可以走1m，2m或3m），它离终点还有多远：

　　1. 还有1m, 进行一次走1m的运动就能到达终点。

　　2. 还有2m, 进行一次走2m的运动就能到达终点。

　　3. 还有3m, 进行一次走3m的运动就能到达终点。

　　这样一来的话，我们可以知道：a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n+3), 即走n米的走法总数 = 走n-1米的走法总数 + 走n-2米的走法总数 + 走n-3米的走法总数

 

C语言实现：（动态规划——自底向上（迭代法））

// Hello, i‘m 九院干干

/*
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+ 关键点：a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3)
+ 此版本借助了辅助n个空间，说明该算法还
+ 可以进化
+ 时间复杂度O(n), 空间复杂度O(n)
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define size 100


int RobotWalk(int n,int a[])
{
    int i,x;
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1 ||n==2) return n;
    if(n==3) return 4;

    a[1] = 1;
    a[2] = 2;
    a[3] = 4;
    for(i=4; i<=n; i++)
        a[i] = a[i-1] + a[i-2] + a[i-3];  // 计算从小到大向前推进，计算a[4]->a[5]->...->a[n]

    return a[n];
}


void main()
{
    int n, KindSum;
    int a[size];
    printf("请输入机器人要走的路程总长度：");
    scanf("%d",&n);
    KindSum = RobotWalk(n,a);
    printf("机器人的走法有%d种
", KindSum);
    system("pause");
}

运行结果：

 

进一步优化：（上面的算法的空间复杂度为O(n)，改进后，只需3个辅助空间） 

 C语言实现：

/*
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+ 这个算法版本就是利用3个存储单元，存储计算米数
+ 增加一个长度的三个历史走法总数。
+ 
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/



#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int RobotWalk(int n)
{
    int i, count, temp;
    int a[3] = {1,2,4};
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1) return a[0];
    if(n==2) return a[1];
    if(n==3) return a[2];

    count= 0;

/*
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+下面这个for循环是关键，count用来计数，以使数组a中每次只更新最老的历史数据，
+ 即最新的数据替换最老的数据，例如最先更新最老数据a[0]，a[0]成为最新数据；之后
+ 更新最老数据a[1], a[1]成为最新数据；然后更新最老数据a[2]，a[2]成为最新数据。
+ 此过程不断循环，直到计算出走n米的走法总数。
+
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/


    for(i=4; i<=n; i++)
    {
        temp = a[2] + a[1] + a[0];
        a[count] = temp;
        count = (count+1)%3;   //循环更新count，使其取值为{0,1,2}，对应于数组a的下标
    }
    return temp;
}

void main()
{
    int n, KindSum;
    printf("请输入机器人要走的路程总长度：");
    scanf("%d",&n);
    KindSum = RobotWalk(n);
    printf("机器人的走法有%d种
", KindSum);
    system("pause");
}

 

运行结果：

 

除了运用自底向上的思维，当然还可以使用自顶向下的解法。

 

C语言实现：（动态规划——自顶向下（递归的方式））

// Hello, i‘m 九院干干

/*
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+ 
+ 该算法是采用递归的思想，但需要记录计算过的子问题，以避免重复计算子问题。
+ 因此，若是碰到曾经计算过得问题就直接返回其解。
+
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/


#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define size 1000

int RobotWalk(int n, int a[])
{
    if(a[n]!=0) return a[n];    //返回计算过的子问题的解
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1 || n==2) return n;
    if(n==3) return 4;
    else
    {
        a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a);  // 递归实现 a[n] = a[n-1]+a[n-2]+a[n-3]
        return a[n];
    }
}

void main()
{
    
    int n, KindSum;
    int a[size] = {0};     //对数组元素初始化为0
    printf("请输入机器人要走的路程总长度：");
    scanf("%d",&n);
    KindSum = RobotWalk(n,a);
    printf("机器人的走法有%d种
", KindSum);
    system("pause");
}

 

运行结果：

 

 

Python实现：（自底向上 / 迭代法）：

# Hello, i‘m 九院干干

#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
# 此算法的辅助空间为3，则空间复杂度可以看成O(1)
# 自底向上（迭代法）
#++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

def RobotWalk(n):
    a= [1,2,4]
    if n<=0 : return 0
    if n==1 or n==2 : return n
    if n==3 : return 4
    else:
        count = 0
        for i in range(4,n+1):
            temp = a[2] + a[1] +a[0]
            a[count] = temp
            count = (count+1)%3
        return a[count-1]

if __name__ == ‘__main__‘:
    n = int(input("请输入机器人要行走的总路程："))
    KindSum = RobotWalk(n)
    print("机器人的走%d米的走法总数为：%d" %(n,KindSum))

运行结果：

 

Python实现：（动态规划——自顶向下（递归的方式））

 

def RobotWalk(n,a):
    if a[n]!=0 : return a[n]
    if n<=0: return 0
    if n==1 or n==2: return n
    if n==3: return 4
    else:
        for i in range(4,n+1):
            a[n] = RobotWalk(n-1,a) + RobotWalk(n-2,a) + RobotWalk(n-3,a)

        return a[n]


if __name__ == ‘__main__‘:

    n = int(input("请输入机器人要行走的总路程："))
    a = (n+1)*[0]
    KindSum = RobotWalk(n,a)
    print("机器人的走%d米的走法总数为：%d" %(n,KindSum))

 

运行结果：