算数平均值的正切函数表达式的简易证明过程

Posted 2021-03-01 kevin0626

引文：

今天票圈收到的来自一位老同学的求助，背景是研究核磁共振基础理论时遇到的问题，详情请见下图。

1.是骡子是马拉出来遛遛，先试试水。

当n=1,2的时候，验证一下此公式是否真的成立，别特喵的整了半天发现公式是错的，浪费表情。如果还不好理解，就代入个特殊值进去，直接算就行了，例如pi/4。经过测试证明，该公式是成立的，那么就接着往下走呗。

 

2.尝试使用复变函数的思想解决问题，结果入坑了，没搞出来。

3.尝试使用幂级数的思想解决问题，又入坑了，还是没搞出来。

4.转眼几颗烟燃尽，灵光一现，想到了高中数学中的数学归纳法。

哎，果然是：自古深情留不住，唯有套路的人心。这玩仍不就是专门用来证明这种在自然数范围内成立的公式的套路嘛。确定了大政方针，那么就开干。

 5.最关键的是怎么建立起n=k时的公式与n=k+1时的公式的联系

 

 6.最简单的思路就是做差和做商，此外还可以两边取对数等等，具体情况，具体分析。

7.一顿操作猛如虎，一看战绩零杠五。

总体的证明思路已基本清晰，最核心的地方留了个白，实在有点晚了，改天空了再试试。

文末彩蛋：数学归纳法科普

最简单和常见的数学归纳法是证明：当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：
1.证明当n=1时命题成立。
2.假设n=k时命题成立，那么可以推导出在n=k+1时命题也成立（k代表任意自然数）。

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以证明：1.第一张骨牌会倒；2.只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒骨牌一个接一个倒下，直到最后一个倒下为止。那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

 

参考文献：

1.数学的思维方式：https://www.cnblogs.com/doit8791/p/10353485.html

2.思维探索者：我们需要演绎与归纳 神奇的“金字塔原理”：https://www.cnblogs.com/svennee/p/4087959.html

3.「数学思维系列」谈谈归纳与演绎思维：https://baijiahao.baidu.com/s?id=1660599299165328642&wfr=spider&for=pc

4.演绎与归纳：https://www.cnblogs.com/jeff_nie/archive/2010/10/21/1857156.html

5.归纳法与演绎法：https://www.cnblogs.com/zhukunrong/p/5084099.html