Codeforces 1149 题解

Posted 2021-03-01 suncongbo

A

特判全是 (2)，对于有 (1) 的情况把 (1) 放到第二个和最后。
时间复杂度 (O(n)).
代码: 76492031

B

考虑只有一次询问的情况，有一个 (O(n^3)) 的 DP，设 (f[i][j][k]) 表示三个串分别匹配到 (i,j,k)，大串最短匹配到哪。转移形如 ((i,j,k) ightarrow (i+1,j,k),(i,j+1,k),(i,j,k+1)).
有修改相当于给某一维 (+1) 或 (-1)，显然影响到的 ((i,j,k)) 只有 (O(L^2)) 个，直接改即可。((L) 为 (A,B,C) 串长度)
时间复杂度 (O(n|Sigma|+qL^2)).
代码: 76579067

C

显然问题就相当于选择三个数 (i,j,k) 满足 (0le ile jle kle n)，最大化 (s_i-2s_j+s_k) ((s) 为前缀和)，修改的形式为区间加或减 (2).
线段树经典题。直接线段树维护 (s_i), (-s_j), (s_i-2s_j), (-2s_j+s_k), (s_i-2s_j+s_k) 的 (max) 即可。
时间复杂度 (O(n+qlog n)).
代码: 76672305

D

由于边权只有两种，我们需要考察的状态显然是仅加入 (a) 边之后的连通状态。
考虑一条从 (1) 到 (p) 的路径，为了满足最小生成树的限制，我们仅仅需要满足路径上不出现“从某个连通块出来又重新进去”这种事情。
有一个显然的状压 DP，设 (f[s][u]) 表示经过的连通块集合为 (s)，现在处于点 (u). 其实严格来讲这是一张图，需要在上面跑最短路（因为需要处理 (s) 相同 (u) 在同一连通块内的转移）。
问题是连通块个数太多了。一个很自然的想法是大小为 (1) 的连通块可以用一些手段缩去，但这还不够。事实上，大小不超过 (3) 的连通块都是不需要记录进 (s) 中的。因为如果从这个连通块里出去再回来至少要花费 (2b) 的代价，而这个连通块内任何两点的距离不超过 (2a).
因此 (s) 只需要记录大小 (ge 4) 的连通块是否经过过的状态。这样的连通块最多只有 (frac{n}{4}) 个。
时间复杂度 (O(2^{frac{n}{4}}m)).
代码: 76698798

E

结论：设 (f(u)= ext{mex}_{vin out[u]}f(v))，则可以把每个点表示为 (a_komega^{f_k})，就相当于一个只有第 (f_k) 个位置为 (a_i) 其余都为 (0) 的数组（这里的 (omega) 在博弈论里还有一些其他的神奇意义），则先手胜当且仅当对于每个位置，所有的点的异或和均为 (0) (即 (forall i,igoplus_{f[u]=i}=0)).
证明详见官方题解。
代码: 76707873