「考试」省选73

Posted 2021-02-28 lrefrain

T1
看起来是个状压(dp)。
设(dp[i][j][S])为前(i)行，放置了(j)个哲学家，第(i)行放的情况是(S)的方案数。
那么对于两个状态，能否由上一行转移到这一行会存在一些判断，这些判断暴力写一写就行了，也不是很恶心。
对于两个状态能够转移的话(s_1 ightarrow s_2)，那我们就用状压(dp)暴力的在两行之间转移就可以了。
复杂度最劣是(O(3n^22^6))的。
卡常可以过。
比如说对于一个(i)，(j)枚举的下界是(max(0,m-3(n-i+1)))这样子。
然后看了一下神仙正解。
如果我们把(dp(i,S))看成是({dp[i][S][j]})的生成函数。
那么有：([x^j]dp(i,S)=dp[i][j][S])
同时可以用矩阵进行转移。
(dp(i))为一个列向量，每一个位置存(dp(i,S))就可以了。
然后转移矩阵(A)有：(s_1 ightarrow s_2,a_{s_1,s_2}=x^{bit[s_2]})
这样就可以直接用矩阵快速幂了。
然而你直接用矩阵暴力乘多项式上去的复杂度就是(O(512nlog^2n))的。
还不如暴力。
考虑直接用点值乘，这样省去了一个(logn)
求(A^{n})的复杂度就是:(O(512nlogn))的了。

T2
是01分数规划。
我们考虑如何(check)一个答案。
相当于是有(Amid-B>0)则偏大，否则偏小。
可以二分。
(check)的时候算出来(Amid-B)的最大值就可以了，判断最大值是不是偏大。
很显然的一个最大权闭合子图。
两个点之间的贡献拆成两倍来做，这样(a[i])也要乘二才能保证上下相除答案不变。
然后对于两个点的贡献分开割就可以了。
网络流得卡常。
我写了当前弧优化，然后被迫又把两条边合并。
这才卡过去。

T3
很奇怪的找到三种算法（两种可行）。
1.

[ans=sumlimits_{i=1}^{n}2^{f(i)} ]

[g(n)=2^{f(n)} ]

[(a,b)=1,f(ab)=f(a)+f(b),g(ab)=g(a)g(b),g(p^e)=2p^0 ]

这个东西可以发现是直接(Min\_25)筛就行。但是太难写了。
所以我后面两个都是想推出一个复杂度比较优秀的暴力出来。

[g(d)=2^{f(d)}=sumlimits_{g|d}[(g,frac{d}{g})=1] ]

[egin{aligned} ans&=sumlimits_{i=1}^{n}g(i)&=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{d|i}[(d,frac{i}{d})=1]&=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{d|i}sumlimits_{g|(d,frac{i}{d})}mu(g)&=sumlimits_{d=1}^{n}sumlimits_{i=1}^{frac{n}{d}}sumlimits_{g|(d,i)}mu(g)&=sumlimits_{g=1}^{n}mu(g)sumlimits_{d=1}^{frac{n}{g}}frac{n}{dg}h(n)&=sumlimits_{i=1}^{n}frac{n}{i}&=sumlimits_{g=1}^{n}mu(g)h(frac{n}{g})\end{aligned} ]

前面的部分整除分块+杜教筛就可以算出来，后面的(h)也是可以用整除分块的，复杂度在线性左右（不会证）。
这个算法中间的地方有一些性质没有挖掘出来。
其实本质上是和最终算法是相同的。
只不过最终算法把这个算法的枚举给合并同类项了。

[g(d)=2^{f(d)}=sumlimits_{g|d}[(g,frac{d}{g})=1] ]

[egin{aligned} ans&=sumlimits_{i=1}^{n}g(i)&=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{d|i}[(d,frac{i}{d})=1]&=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{d|i}sumlimits_{g|(d,frac{i}{d})}mu(g)&=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{g^2|i}mu(g)d(frac{i}{g^2})&=sumlimits_{g=1}^{sqrt{n}}mu(g)sumlimits_{i=1}^{frac{n}{g^2}}d(i)&=sumlimits_{g=1}^{sqrt{n}}mu(g)sumlimits_{i=1}^{frac{n}{g^2}}sumlimits_{d|i}I&=sumlimits_{g=1}^{sqrt{n}}mu(g)sumlimits_{d=1}^{frac{n}{g^2}}frac{n}{g^2d}&=sumlimits_{g=1}^{sqrt{n}}mu(g)l(frac{n}{g^2})l(n)&=sumlimits_{i=1}^{n}frac{n}{i}\end{aligned} ]

前面枚举(g)，然后分块算(l(frac{n}{g^2}))即可。
这个算法的话时间复杂度也很优秀。

[O=int_1^{sqrt{n}}sqrt{frac{n}{x^2}}dx=sqrt{n}sumlimits_{x=1}^{sqrt{n}}frac{1}{x}dx=sqrt{n}ln(sqrt{n}) ]

这样就解决了。