CF1336 Linova and Kingdom

Posted 2021-02-28 yzhx

题面

给定 n 个节点的有根树，根是 1 号节点。

你可以选择 k 个节点将其设置为工业城市，其余设置为旅游城市。

对于一个工业城市，定义它的幸福值为工业城市到根的路径经过的旅游城市的数量。

你需要求出所有工业城市的幸福值之和的最大可能值。

(1<=k<=n<=2*10^5);

传送门

题解

仔细想想不难想到，肯定是从叶子节点这种深度大的选
然后做法就是排遍序，然后按深度从大到小选？？？

但是，真的是这样吗？？？

我们仔细考虑一个点作为工业城市的条件与情况：

首先，假如以此点为根的子树中还有点没有被选，那么这一个点肯定不是当前最优决策
有了上面这一条，我们可以推出：

一个点被选工业城市的前提是它的儿子都已经被选了

然后我们来考虑将一个点选为工业城市的贡献：

• 它的深度
• 它会使得它的子树中每个已被选为工业城市的点贡献-1

又因为该点子树中肯定每个点都已经是工业城市，所以该点贡献value就是：
(value=它的深度-子树大小)

按照这个(value)维护一个大根堆，将每个儿子都已被选或本身为叶子节点的点插入就好

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define in inline
#define ll long long
#define get getchar()
in int read()
{
    int t=0,x=1;char ch=get;
    while((ch<‘0‘||ch>‘9‘)&&ch!=‘-‘)ch=get;
    if(ch==‘-‘)x=-1,ch=get;
    while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)t=t*10+ch-‘0‘,ch=get;
    return x*t;
}
const int _=2e6+5;
struct edge{
	int to,ne;
}e[_];
struct dian{
	int id,deep;
}d[_];
int h[_],n,k,num[_],tot,father[_];
in void add(int x,int y)
{
	e[++tot].to=y,e[tot].ne=h[x],h[x]=tot;
}
int val[_],siz[_],len[_];
in void dfs(int u,int fa)
{
	d[u].id=u,d[u].deep=d[fa].deep+1;
	siz[u]=1;father[u]=fa;
	for(re int i=h[u];i;i=e[i].ne)
	{
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		siz[u]+=siz[v];
	}
}
in int cmp(dian a,dian b)
{
	return a.deep>b.deep;
}
in ll work(int x)
{
	return (d[x].deep-1)-siz[x]+1;
}
priority_queue<pair<ll,int> >q;
in void dfs2(int u,int fa)
{
	len[u]+=len[fa];
	if(!val[u]) len[u]++;
	for(re int i=h[u];i;i=e[i].ne)
	{
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs2(v,u);
	}
}
int main()
{
	n=read(),k=read();
	for(re int i=1;i<n;i++)
	{
		int x=read(),y=read();
		add(x,y),add(y,x);
		num[x]++,num[y]++; //统计每个点的度数,之后要统计哪些点成为"叶子"节点
	}
	dfs(1,0); //求深度、子树大小、父亲节点编号
	for(re int i=1;i<=n;i++)
		if(num[i]==1)
			q.push(make_pair(work(i),i)); //把真正的叶子加入优先队列
	while(k--)
	{
		int u=q.top().second;q.pop();
		val[u]=1;num[father[u]]--; //val[i]为1 表示此点已是工业城市；将父亲节点的度数-1
		if(1==num[father[u]]) //若父亲节点度数为1，则说明父亲节点的所有儿子都已经成为了工业城市，所以该父亲节点也有了“候选资格”
			q.push(make_pair(work(father[u]),father[u]));
	}
	dfs2(1,0); //统计每个工业城市的答案
	ll ans=0;
	for(re int i=1;i<=n;i++)
		if(val[i])
			ans+=len[i];
	cout<<ans<<endl;
 	return 0;
}