kummer定理
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没有校验过， 可能有锅qwq
Kummer定理
设(n、m)为正整数，(p)为素数，则(C_{n+m}^m)含(p)的幂次数等于(m+n)在p进制下的进位次数（在加法过程中）。
前置芝士：
(n!)含有的(p)的幂次数为：
[sum_1^{infty} Big[ frac{n}{p^i} Big]
]
(这个随便画画就可以证明了)
证：
(C_{n+m}^m)含(p)的幂次数为:
[sum_1^{infty} Big[ frac{m+n}{p^i} Big] - sum_1^{infty} Big[ frac{n}{p^i} Big] - sum_1^{infty} Big[ frac{m}{p^i} Big]
]
[=sum_1^{infty} ( Big[ frac{m+n}{p^i} Big] - Big[ frac{n}{p^i} Big] - Big[ frac{m}{p^i} Big] )
]
接下来只要算出(m+n)在p进制下的进位次数（在加法过程中）就好。
将(m+n、n、m)分别写成(p)进制(下标为0的是最低位):
[overline{c_0c_1c_2 cdots c_{unknown}} 、overline{n_0n_1n_2 cdots n_{unknown}} 、overline{m_0m_1m_2 cdots m_{unknown}}
]
在加法过程中， 定义第(pos)位发生进位这个事件发生的条件为
[n_{pos}+m_{pos} geq p
]
若第(pos)位发生了进位， 则
[overline{n_{pos+1} cdots n_{unknown}} +overline{m_{pos+1} cdots m_{unknown}} < overline{c_{pos+1} cdots c_{unknown}}
]
当然， 由于进位最多进一((lfloor frac{(p-1)+(p-1)}{p} floor = 1))， 故当第(pos)位发生进位时
[overline{c_{pos+1} cdots c_{unknown}} - overline{n_{pos+1} cdots n_{unknown}} - overline{m_{pos+1} cdots m_{unknown}} = 1
]
反之
[overline{n_{pos+1} cdots n_{unknown}} +overline{m_{pos+1} cdots m_{unknown}} = overline{c_{pos+1} cdots c_{unknown}}
]
即
[overline{c_{pos+1} cdots c_{unknown}} - overline{n_{pos+1} cdots n_{unknown}} - overline{m_{pos+1} cdots m_{unknown}} = 0
]
然后在(p)进制下(m+n)过程中的进位次数用数学式子表示就是这个
((overline{x_{pos+1} cdots x_{unknown}}) = (x/p^{pos+1}))
[sum_1^{infty} ( Big[ frac{m+n}{p^i} Big] - Big[ frac{n}{p^i} Big] - Big[ frac{m}{p^i} Big] )
]
然后就证毕了。
以上是关于kummer定理的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章