P6022 快乐水 题解

Posted 2021-02-28 bifanwen

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简要题意：一开始你有 (n) 瓶快乐水，每拥有 (1) 瓶快乐水就可以附带 (n) 个物件，第 (i) 个物件有了 (a_i) 个就可以 再获得 (1) 瓶快乐水。不允许借代 / 赊账，求最多得到的快乐水的瓶数，如果是无限多则输出 ( ext{Inf}).

这是洛谷一道月赛题的 (T1).

首先，本人赛时并没有想很多，当时只想着： (T1) 应该是水模拟吧，可是当时仔细想：(m = 5) 万一死循环陷入环内，怎么办？万一 ( ext{Inf}) 情况判不出来，怎么办？万一被卡出 ( ext{TLE}) 怎么办？

但是我不心慌，决定一一解决。

实则真正意义上的模拟，是那种 一眼看起来就是模拟水题，然后直接乱发过掉 的，而不是 通过一定量思考发现可以模拟解决再过掉 的，本题被评为橙题是不应该的，不应该。

死循环陷入环内这一问题是最棘手的。但是仔细想：每次 你得到的快乐水瓶数只会越来越多，越来越多，从来不存在少的情况。如何判断结束呢？一个快乐水也衍生不出来就可以结束了。

那么如何判断无限情况呢？很显然，无限 当且仅当所有 (a_i) 相等 且 (a_i leq n). 为什么呢？因为，如果所有 (a_i) 都相等并且第一次可以衍生的话，首先 之后每次操作 (a_i) 都相等，然后每次衍生出的 (m) 个都会再产生，再产生 (cdots cdots) 所以是无限的，具体不懂可以看看样例。

这一切都解决之后，我们想一想 ( ext{TLE}) 问题该怎么办？

可是你想想，真会 ( ext{TLE}) 么？

我们需要构造一组数据使得借和还的次数最多！

这里美妙优秀的 ( ext{WYXkk}) 出题人给出了一组美妙无比的 ( ext{hack}) 数据：

10000 5
2 3 7 43 1807

其构造方法在于，(a_i = Big( prod_{j=1}^{i-1} a_j Big) + 1)，并且 (a_i = 2).

经过实测，这个数据会达到 (2.8 imes 10^7) 次！（答案达到 (3 imes 10^{10})，需要部分开启 ( ext{long long})）

当然如果 (m=6) 模拟就无力解决啦。

时间复杂度：(O( ext{wys})).（大概很优秀吧）

实际得分：(100pts).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘) f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();return x*f;}

int n,m; long long ans=0;
int a[6],b[6],c[6];

long long l;
bool x=0; //无限情况
inline void check(){
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(b[i]>=a[i]) l+=b[i]/a[i],b[i]%=a[i];
} //当前瓶数为 b , a 是初始数组 , l 记录多出来的瓶数

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=read(),b[i]=n;
	ans+=n;
	while(1) {
		for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=b[i];
		l=0; check();
		if(!l) break;
		ans+=l;
		for(int i=1;i<=m;i++) b[i]+=l; //记录答案，重新衍生
		bool f=0;
		for(int i=1;i<=m;i++) if(c[i]-b[i]) {f=1;break;} //做标记
		if(!f) {x=1;break;} //如果 c[i] = b[i] 则说明一次之后根本没变 , 是无限情况
	}
	if(x) printf("Inf"); else
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}