XOR( 异或空间

Posted 2021-02-28 hhyx

XOR

# 题意

给出n个数，a_i，从中选取一些进行异或运算(可以只有一个)，求出他们所有可能组合得到的异或值去重后的第k小的值

1 ≤ a_i ≤ 10¹⁸

# 题解

因为是去重后的值所以求出线性基然后组合即可

因为1 ≤ a_i ≤ 10¹⁸即所有数都在二进制64位之间，可以将每个数看做是64位二进制数，通过高斯消元后求得简化的行阶梯型矩阵，

即线性基，矩阵的秩为r，首先最大的数即所有数异或，其余的都是组合，一共有2^r种，这里是包含了值为0的项，

需要判断是否存在0，因为题目中不会选出a_i ^ a_i 所以不一定存在0，在高斯消元后如果存在0，即说明存在几个数异或等于0

将k--即可，然后通过二进制求出第k-1小的数，如果 k >= 2^t 即没有这么多不同的值就输出-1

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define ull long long
 3 using namespace std;
 4 const int N=1e4+10;
 5 int n,m;
 6 ull a[N];
 7 int main() {
 8     int t;
 9     cin >> t;
10     for (int T = 1; T <= t; T++) {
11         cin >> n;
12         for (int i = 1; i <= n; i++)
13             cin >> a[i];
14         bool zero = 0;
15         int r = n;
16         for (int i = 1; i <= n; i++) {
17             for (int j = i + 1; j <= n; j++)
18                 if (a[j] > a[i]) swap(a[i], a[j]);
19 
20             if (a[i] == 0) {//最大的主元为0后面的肯定也是0
21                 r = i - 1;
22                 zero = 1;
23                 break;
24             }
25             for (int k = 63; k >= 0; k--)
26                 if (a[i] >> k & 1) {
27                     for (int j = 1; j <= n; j++)
28                         if (j != i && (a[j] >> k & 1)) a[j] ^= a[i];
29                     break;
30                 }
31         }
32         cin >> m;
33         cout << "Case #" << T << ":" << endl;
34         while (m--) {
35             ull k, ans = 0;
36             cin >> k;
37             if (zero) k--;
38             if (k >= 1llu << r) puts("-1");
39             else {
40                 for (int i = r-1 ; i >= 0; i--)
41                     if (k >> i & 1) ans ^= a[r - i];
42                 cout << ans << endl;
43             }
44         }
45     }
46 }