构造口胡

Posted 2021-02-28 jrf123

对称性原理——翻折法：如果两条路径相交，可以通过交换起点（终点）变成两条不相交的路径。

　　$eg$.（这题考过）找两条$(1,1)$->$(n,m)$的路径，要求除起点终点都不相交：首先拆成两个起点终点的路径，如果独立，直接组合数；对于相交的情况，交换起点（终点），一定会有一个交点，包含了所有相交的情况（相当于把一开始的两条相交路径的第一个交点以前的部分交换）。两个组合数相减就是答案。

本来是要看杂题2的，但是看了两道给我劝退了，我就溜来了构造，发现根本想不到，看了题解，哦，不难啊......总结来说，你需要拥有手模样例的能力+强大的找规律+超强的脑洞（我后悔了，我应该去看杂题的）

$Coloring Torus$：对于一个$n*n$的网格，称$(r,c)$为处于第$r+1$行，第$c+1$列的格子。一个对网格的好的$k$染色是满足下述条件的染色方案：

• 每个格子被染成 $1, 2, 3,...,k$这$k$种颜色之一。
• $k$种中的每种颜色都被至少一个格子使用。
• 对于任意颜色$i,j(1≤i≤ k,1≤j≤k)$，满足所有颜色为$i$的格子，其相邻的颜色$j$的格子个数相同。这里，与$(r, c)$相邻的格子为$((r-1) mod n,c)，((r+1) mod n,c)，(r,(c-1) mod n)，(r,(c+1) mod n)$（如果一个格子多次出现，那么会算多次）。

给出 $k(1 ≤ k ≤ 1000)$，选择一个$1 ≤ n ≤ 500$，任意构造一个对$n*n$的网格的好的$k$染色。

题解：感叹一下敏锐的观察力。手模几个小的，

   $n=4,k=4:$                    $n=4,k=8$                       $n=4,k=7$

 

然后通过你敏锐的观察力，发现他们有些许的规律

若$k=n$，$a[i][j]=(i+j-2)%n+1$

若$k=2*n$，奇数行：$a[i][j]=(i+j-2)%n+1$;偶数行：$a[i][j]=(i+j-2)%n+n+1$

若$n<k leq 2n$：在$k=2n$的基础上把大于$k$的换成$x-n$即可。

接下来就是怎么找到一个$n$使得$n leq k leq 2n$。令$n=2*left lceil frac{k}{4} ight ceil $即可。特判$k=1$

 

$Robot Arms$:$n+1$个节点，$n$条长度为$d[i]$的边，第$i$步可以向上下左右任意方向走$d[i]$步，要求从$(0,0)$出发走n次最终能到达$(x_i,y_i)$，输出方案。

题解：题目好绕啊。加入已有一个$d$序列，每次运动，坐标加减的值是一样的，最终能到达的地方的$x+y$奇偶性是相同的，所以$m$个目标节点的$x_i+y_i$必须是一样的，否则不合法。关于$d$序列的构建，考虑优秀的二进制。令$d[k]=2^{40-k}$    $k leq 40$。发现这样能到达的地方横纵坐标和一定是奇数（除$1$外全部都是偶数），如果$x_i+y_i$为偶数的话，在d的最后再加一个$1$就好。这样的话，每一步能到达的范围会形成一个菱形（画个坐标轴理解理解），保证左右地方都能被经过。对于输出走的方式，反过来从$(x_i,y_i)$走到$(0,0)$，这个过程考虑贪心。每次选择$x,y$中较大的那个，向靠近$(0,0)$那个方向走一步，注意输出的是反着的。

 

 

$Not Same$：大小为 $n $的集合 $a1, a2, . . . , an$，满足 $1 ≤ ai ≤ n$。每次你可以选择一个子集的元素并且把这个子集的元素都$1$，你需要在至多 $n + 1 $次操作之内把所有数变成 $0$。每次选择的子集不能相同。$1 ≤ n ≤ 1000$

题解：列一个$n+1$行，$n$列的$0/1$矩阵，第$i$行第$j$列为$1$代表第$i$次的集合里有$j$。把$a$数组降序排列，然后以对角线为分界线往上填$a[i]$个$1$，如果格子不够，再回来从最下边一行接着填。这样一定不会有集合是相同的。证明感性理解。偷张图好理解

 

$Inverse of Rows and Columns$：给定一个 $n × m$ 的 $01$ 矩阵，你可以选择任意行翻转任意列翻转（$0$变$1$,$1$变$0$）。求最后能否将整个矩阵变成有序的。有序即$a_{1,1} leq a_{1,2} ...leq a_{2,1}...leq a_{n,m}$

题解：首先特判$n=1$。为满足题目的条件，最终的矩阵一定满足两个条件中的一个：$A.$第一行全是$0$；$B.$最后一行全是$1$。两种情况分别来一遍，那个符合那个就是答案，都不符合就无解。以$A$为例，若$a[1][i]=1$，则翻转第$i$列。翻转完后若存在答案，有两种情况：$1.$所有行都只有$0$或只有$1$，那么就全翻成一样的就好；$2.$有且仅有第$k$行同时包含$0$或$1$，且$0$全部在左边，$1$全部在右边，或者反过来，只需要把第$k$行翻成前$0$后$1,2~k-1$行翻成$0$，$k+1~n$翻成$1$。$B$是类似的。