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Posted 2021-02-28 litbro

反问题与不适定

来自：Litbro （一个希望中文网能有更多知识的小兄弟）

? 在研究生学习过程中，涉及到了数学物理中的反演问题，正常问题一般可简化为输入，输出和转换系统，即

[old{F}x = y (x in old{X}, y in old{Y}) ag{1} label{eq1} ]

其中，(old{F}) 表示转换关系（一般为算子或积分，已知），(x) 为输入参数，(y) 为输出数据，(old{X}) 和 (old{Y}) 为对应的赋范空间。从反问题的角度来考虑，求解问题变为

[x=old{F}^{-1}y ag{2} label{eq2} ]

即已知输出数据，反求出输入参数。经常说问题的适定性对反问题求解存在很大的影响，先从适定性的定义出发，假设问题(eqref{eq1})是适定（well-posedness）的，则全部满足[^1]：

• (C_{1})：(forall y in old{Y})，(exists x in old{X})，使得(eqref{eq1})成立；
• (C_{2})：(eqref{eq1})的解是唯一的；
• (C_{3})：(eqref{eq1})的解连续依赖于(x)

? 要求问题(eqref{eq1})适定的条件下，等同于要求 (old{F}^{-1}) 存在且连续，然而很多问题都是不满足这个条件的，也就是说不适定。许多反问题都是不适定的，普遍存在 (x) 不连续依赖于 (y) ，并且 (y) 的微小扰动会使 (x) 产生剧烈波动的问题，也即病态问题，这时我们所求的反问题的解通常是最小二乘意义下的解 (x^* in old{X})，即

[arg min |{old{F}x^{*}-y}|_2^2 ag{3} label{eq3} ]

注：不可将适定性与病态性视作一种概念，并且它们没有从属关系，要理解需从各自的定义出发，可大致参考[知乎]，[Exchange]

病态（ill-conditioned）问题：当一个问题的输入受到微小的扰动即可引发输出解的剧烈变化时，也即问题的解对输入参数非常敏感，便称它是病态问题

? 反问题与不适定的联系主要表现在两个方面[^2]：1、由于客观条件的限制，反问题中的数据往往是欠定或者过定的，这就导致解的不唯一性或者是解的不存在性；2、反问题的解对数据往往不具有连续依赖性，并且通常这种不连续这是导致反问题病态的原因。在(old{F}^{-1}) 的连续性不满足的情况下，即条件 (C_3) 不满足的情况，如何通过一组带有误差的数据稳定求出满足精度的结果，显然非常重要。

例1：考虑一个一维阶跃函数

[{F}(x) = [x] (x in R^1) ag{4} label{eq4} ]

显然 (eqref{eq4}) 并不连续，考虑 ({F}(3.001) = 3) ，若存在误差 (delta)，(3.001+delta = 2.999)，那么 ({F}(2.999) = 2)，显然一个很小的误差 (delta = -0.002) 对求解带来了很大的影响，这也表明问题 (eqref{eq4}) 是病态的。

例1合理性待确定，想通过这例子直观的反映出我对这部分内容的理解，如有不合理处或更好的举例还望不吝指教

? 为获得最小二乘意义下的解 (x^*) ，需要利用一种算法来求解最小化问题 (eqref{eq3}) ，这些算法有：全局搜索算法，梯度类算法，凸优化算法等。这些算法都用各自的搜索方法寻求目标函数的极小值，并且这些算法的搜索效率和准确度在应用中各有优劣。对于适定非病态问题，这些算法都能稳定准确地得出结果，但对于不适定病态问题，这些算法无法足够稳定准确地求解，因此人们发展了正则化方法。