离散数学课程重点

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离散数学课程重点

命题逻辑

本次课的主要内容:命题及其表示法;联结词;命题公式与翻译。

本次课的重、难点:理解命题的概念和表示方法;弄懂命题联结词否定、合取、析取、条件(视频中称蕴含)和双条件(视频中称等价)的定义,及其与自然语言中相关联结词的联系和区别。掌握命题符号化的方法:(1)找出原子命题,分别符号化;(2)根据命题含义找出合适的联结词,不可拘泥于句子形式。


本次课的主要内容:命题公式;真值表与等价公式;重言式。

本次课的重、难点:弄懂联结词运算的优先次序,掌握真值表法求命题真值,理解公式等价与重言式的关系(视频中称永真式),熟记并理解10组命题定律(书上P15表1-4.8,了解视频中扩展的其它定律),理解等价置换定理,能够熟练证明公式等价、化简复合命题公式。


本次课的主要内容:蕴含式的定义和公式;推理理论的基本方法。

本次课的重点:弄懂蕴含式(即视频中的永真蕴含式)的概念;掌握常用的蕴含式公式;了解蕴含式的证明思想;了解推理理论的思想,掌握真值表证明方法和推理规则证明方法。

本次课的难点:掌握常用的蕴含式公式;掌握真值表证明方法和推理规则证明方法。


本次课的主要内容:推理理论(续);复习第一章内容。

(对应教材内容 第一章 命题逻辑 第8节)

本次课的重、难点:理解直接证法和间接证法的概念;熟练常用蕴含式与等价式(表1-8.3和表1-8.4);掌握P规则、T规则,熟练使用直接证法和间接证法(包括反证法和CP规则)进行推理证明。


谓词逻辑

本次课的主要内容:谓词的概念与表示;命题函数与量词;谓词公式与翻译。

(对应教材内容 第二章 谓词逻辑 2-1,2-2,2-3 )

本次课的重、难点:掌握谓词的概念以及使用谓词表达命题的方法。掌握命题函数的定义,客体变元的定义及其论述范围(个体域、全总个体域);掌握全称量词和存在量词的定义和作用;理解特性谓词的作用及其在不同量词作用域内引入形式的不同。掌握谓词合式公式的定义,并能熟练掌握量化命题的翻译。


本次课的主要内容:变元的约束;谓词演算的等价式与蕴含式。

对应教材内容 第二章 谓词逻辑 2-4,2-5)

本次课的重、难点:掌握量词辖域(作用域)、自由变元和约束变元的概念;掌握约束变元的换名规则、自由变元的代入规则、个体域的概念。掌握谓词公式等价、有效(永真)、不可满足、可满足的定义;掌握谓词演算的等价式与蕴含式,包括不含量词命题公式的推广,含量词的公式变换(量词的转换、辖域的扩张与收缩、量词与联结词的关联、多个量词的使用)。

熟练掌握特性谓词和量词的关系; 教材p70页表2-5.1。


本次课的主要内容:谓词演算的推理理论。

(对应教材内容 第二章 2-7 谓词演算的推理理论)

本次课的重、难点:掌握ES, US, EG, UG四条规则的含义及其使用方法。熟练掌握教材p70页,表2-5.1中的等价式和蕴含式;能使用直接证法、反证法和CP规则证法等进行推理证明。

注意:

1、使用ES,US,EG,UG四条规则时,对应量词的辖域(作用域)必须对整个被处理的式子有效。

2、使用推理理论证明时,不能在量词辖域内直接使用命题逻辑中的等价式和蕴含式。

3、在推导中若既要使用ES,又要使用US,则先用ES,后用US。


本次课的主要内容:复习第二章的主要内容,讲解例题。

本次课的重点:量化命题的符号化,谓词推理理论。

本次课的难点:熟练掌握量化命题符号化的方法;熟练掌握P, T, ES, US, EG, UG规则,能灵活运用直接证法、反证法、CP规则等方法进行推理证明。


集合与关系

本次课的主要内容:集合的概念和表示法。

本次课的重、难点:掌握集合的概念、表示方法(列举法、叙述法);理解集合间的关系(相等=、不等≠、包含?、真包含?);熟练掌握集合相等的判定定理;掌握全集E、空集?、幂集的定义及其相关性质、定理的证明。


本次课的主要内容:集合的运算、序偶与笛卡尔积。
(对应教材内容 第三章 3-2、3-4)

? 本次课的重、难点::**掌握各种集合运算(并 ∪、交 ∩、相对补 ~、绝对补 —、对称差 ⊕)的定义及其运算,能根据集合运算的定义并结合数理逻辑的方法对运算性质进行证明;掌握序偶、笛卡尔积的定义并能进行笛卡尔积运算,理解序偶与笛卡尔积之间的关系,能够证明笛卡尔积运算相关的定理。本次课难点:能根据运算的定义并结合数理逻辑的方法对运算性质进行证明


本次课的主要内容:关系及其表示,关系的性质。

本次课的重、难点:理解关系的含义,掌握关系的三种表达形式即序偶的集合(包括枚举法、谓词法),关系矩阵和关系图;能够辨别并证明关系所具有的性质:自反、对称、传递、反自反和反对称。


本次课的主要内容:关系的性质(复习),复合关系和逆关系。

本次课的重、难点:能够辨别并证明关系所具有的性质:自反、对称、传递、反自反和反对称;掌握复合关系和逆关系的定义与性质,了解复合关系和逆关系的矩阵表示,掌握复合关系和逆关系的证明。


本次课的主要内容:关系的闭包运算,集合的划分与覆盖。

本次课的重、难点:掌握自反、对称、传递闭包的定义和生成方法;掌握闭包的复合及复合闭包的性质;掌握集合覆盖与划分的定义和相互关系;理解交叉划分和划分加细。


本次课的主要内容:等价关系与等价类,相容关系。

本次课的重、难点:掌握并理解等价关系、等价类的定义、计算,以及相关定理的证明;掌握并理解商集的定义和计算;掌握相容关系的定义及相关定理的证明;理解等价关系与划分之间的一一对应关系,相容关系与完全覆盖之间的一一对应关系。


本次课的主要内容:偏序关系,偏序集合,全序关系,元素y盖住x,链,反链,全序集合/线序集合;哈斯图,极大元/极小元(是否存在,是否唯一),最大元/最小元(是否存在,是否唯一),最大下界(下确界),最小上界(上确界);良序集合。

本次课的重、难点:掌握并理解偏序关系的定义及相关定理的证明;掌握并理解哈斯图的定义和画法;掌握并理解偏序集中特殊位置的元素。

  • 偏序集合中是否所有元素都可以比较?
  • 任何一个偏序集都有最大元?或者都有极大元?
  • 每个良序集合一定是全序集合?--证明
  • 每一个全序集合,一定是良序集合?--证明

本次课的重点:集合与关系中经典例题讲解。

本次课的难点:熟练掌握集合与关系的各种计算和证明。


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