傅里叶变换本质

Posted 2021-02-28 luzhicong

傅里叶变换的公式为

可以把傅里叶变换也成另外一种形式：

可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。

下面从公式解释下傅里叶变换的意义

因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和求内积的时候，只有f(t)中频率为w的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在w上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在w的分量叠加起来，可以理解为f(t)在w上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为w的分量，也就形成了频谱。

傅里叶逆变换的公式为

下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义

傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在和求内积的时候，只有t时刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。