Computational Geometry

Posted 2021-02-28 eimadrigal

矩形重叠

看过某司一道笔试题：给(n)个矩形左下和右上坐标（不能斜放），求重叠最多处矩形个数。
这道题本身不难：可以遍历所有矩形边界组成的点，计算该点被多少矩形包围，从而选出最大值。
由此引申出一个问题：判断两个矩形重叠。

• 如果正向思考，会有很多种情况：包含、重叠某个角、交叉...
  那么如果逆向思考：什么情况两个矩形不重叠？无非就是(A(p_1, p_2))在(B(p_3, p_4))的上下左右：

[(p_2.y>=p_3.y)vee(p_4.y>=p_1.y)vee(p_3.x>=p_2.x)vee(p_1.x>=p_4.x) ]

取反后用De Morgan‘s law化简就是重叠的情况：

[(p_2.y<p_3.y)wedge(p_4.y<p_1.y)wedge(p_3.x<p_2.x)wedge(p_1.x<p_4.x) ]

线段交点

联立方程组求解当然没问题，也可以用几何的方法解：

易知，(frac{AO}{BO}=frac{AE}{BF}=frac{S_{ACD}}{S_{BCD}})，两个三角形面积可以用叉积求得，又(vec{AO}=frac{AO}{AB}vec{AB}=frac{AO}{AO+BO}vec{AB})，所以(vec{O‘O}=vec{O‘A}+vec{AO})，即可求得(O)点坐标。

向量旋转

三角变换可得：

[vec b=(xcosalpha-ysinalpha,ycosalpha+xsinalpha) ]

多边形面积

三角剖分：

[S_{ABCDEF}=frac{vec{OA} imesvec{OB}+vec{OB} imesvec{OC}+...+vec{OF} imesvec{OA}}{2} ]

即：

[S=A_n imes A_1+sum_{i=1}^{n-1}A_i imes A_{i+1}=x_ny_1-y_nx_1+sum_{i=1}^{n-1}x_iy_{i+1}-y_ix_{i+1} ]

凸包

包围所有给定点并且周长最小的多边形。

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reference
洛谷日报#142 计算几何初步