最小生成树算法

Posted 2021-02-28 aichangetheworld

最小生成树介绍：

修路问题本质就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称MST。

1）给定一个带权的无向连通图，如何选择一颗生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树。

2）N个顶点，一定有N-1条边

3）包含全部顶点

4）N-1条边都在图中

5）求最小生成树的算法主要是Prim算法和Kruskal算法

 

Prim算法

应用场景---修路问题

正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，从而保证总里程数最小

 

Prim算法介绍：

1）Prim算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有（n-1）条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

2）Prim算法如下：

       （1）设G = （V，E）是连通网，T = （U，D）是最小生成树，V，U是顶点集合，E、D是边的集合

       （2）若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u] = 1

       （3）若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui，vj）加入集合D中，标记visited[vj] = 1

       （4）重复步骤2），直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

 

给个例题理解一下：

 1 问题描述
 2 
 3 2015年，全中国实现了户户通电。作为一名电力建设者，小明正在帮助一带一路上的国家通电。
 4 　　这一次，小明要帮助 n 个村庄通电，其中 1 号村庄正好可以建立一个发电站，所发的电足够所有村庄使用。
 5 　　现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，小明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
 6 　　小明测量了所有村庄的位置（坐标）和高度，如果要连接两个村庄，小明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上高度差的平方，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) 高度为 h_1 的村庄与坐标为 (x_2, y_2) 高度为 h_2 的村庄之间连接的费用为
 7 　　sqrt((x_1-x_2)(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
 8 　　在上式中 sqrt 表示取括号内的平方根。请注意括号的位置，高度的计算方式与横纵坐标的计算方式不同。
 9 　　由于经费有限，请帮助小明计算他至少要花费多少费用才能使这 n 个村庄都通电。
10 
11 输入格式
12 
13 输入的第一行包含一个整数 n ，表示村庄的数量。
14 　　接下来 n 行，每个三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。
15 
16 输出格式
17 
18 输出一行，包含一个实数，四舍五入保留 2 位小数，表示答案。
19 
20 样例输入
21 
22 4
23 1 1 3
24 9 9 7
25 8 8 6
26 4 5 4
27 
28 样例输出
29 
30 17.41
31 
32 评测用例规模与约定
33 
34 对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
35 　　对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
36 　　对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= x, y, h <= 10000。

例题：户户通电

 1 import java.util.Scanner;
 2 
 3 public class Main {
 4     static class Node {
 5         int x;
 6         int y;
 7         int h;
 8     }
 9 
10     public static void main(String[] args) {
11         //输入
12         Node[] nodes = new Node[1002];
13          
14         Scanner sc = new Scanner(System.in);
15         int n = sc.nextInt();
16         for (int i = 1; i <= n; i++) {
17             nodes[i]=new Node();
18             nodes[i].x = sc.nextInt();
19             nodes[i].y = sc.nextInt();
20             nodes[i].h = sc.nextInt();
21         }
22         sc.close();
23         //初始化数组
24         double[][] map = new double[n + 2][n + 2];
25         double[] mins = new double[n + 2];    //这个最后是用来保存最小值的
26         double MAX = 0x7f7f7f7f;
27         for (int i = 0; i <= n+1; i++) {
28             for (int j = 0; j <=n+1; j++) {
29                 
30              
31                  map[i][j]=MAX;
32                 
33             }
34             mins[i] = MAX;
35         }
36         //先找到每个值的最短路
37         
38         for (int i = 1; i <= n-1; i++) {
39             for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
40             double    x = (nodes[i].x - nodes[j].x) * (nodes[i].x - nodes[j].x);
41             double    y = (nodes[i].y - nodes[j].y) * (nodes[i].y - nodes[j].y);
42             double    h = (nodes[i].h - nodes[j].h) * (nodes[i].h - nodes[j].h);
43             double temp=Math.sqrt(x+y)+h;
44             map[i][j]=Math.min(map[i][j],temp );
45             map[j][i]=map[i][j];
46             }
47         }
48         //然后图算法公式
49         boolean[] vis = new boolean[n+2];
50         mins[1]=0;
51         for (int i = 1; i <n; i++) {
52             int tempX=0;
53             for (int j = 1; j <=n; j++) {
54                 if(!vis[j] &&(tempX==0|| mins[j]<mins[tempX])){
55                     tempX=j;
56                 }
57             }
58             vis[tempX]=true;
59             for (int j = 1; j <=n; j++) {
60                 if(!vis[j]){
61                     mins[j]=Math.min(mins[j], map[tempX][j]);
62                 }
63             }
64         }
65         double result=0.0;
66         for (int i = 2; i <=n; i++) {
67             result+=mins[i];
68         }
69         System.out.println(result);
70     }
71 
72 }

结果代码

 

Kruskal算法

应用场景---公交站问题

 

Kruskal算法介绍：

1）是用来求加权连通图的最小生成树算法

2）基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路

3）具体做法：首先 构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

 

Kruskal算法重点需要解决的两个问题：

问题一    对图的所有边按照权值大小进行排序

问题二    将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路

 

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可

 

问题二，处理方式是：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点”。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

 

关于终点的说明：

1） 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列（单纯指的就是顶点的大小）好之后，某个顶点的终点就是“与它连通的最大顶点”。

2） 判断回路的方式。我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

下面的“边”类仅供参考。

 1 //该类EData 的对象实例就表示一条边
 2 class EData{
 3     char start;//边的一个点
 4     char end;//边的另外一个点
 5     int weight;//边的权值
 6     public EData(char start,char end,int weight){
 7         this.start = start;
 8         this.end = end;
 9         this.weight = weight;
10     }
11     
12     //重写 toString ，便于输出
13     public String toString(){
14         return "EData[<"+start+","+end+"> = "+weight+"]";
15     }
16 }

“边”类代码