题解P2480 [SDOI2010]古代猪文 - 卢卡斯定理 - 中国剩余定理

Posted 2021-02-27 bn_ff

P2480 [SDOI2010]古代猪文

声明：本博客所有题解都参照了网络资料或其他博客，仅为博主想加深理解而写，如有疑问欢迎与博主讨论???(ˊ?ˋ)??*?

题目描述

猪王国的文明源远流长，博大精深。

(iPig) 在大肥猪学校图书馆中查阅资料，得知远古时期猪文文字总个数为 (n)。当然，一种语言如果字数很多，字典也相应会很大。当时的猪王国国王考虑到如果修一本字典，规模有可能远远超过康熙字典，花费的猪力、物力将难以估量。故考虑再三没有进行这一项劳猪伤财之举。当然，猪王国的文字后来随着历史变迁逐渐进行了简化，去掉了一些不常用的字。
(iPig) 打算研究古时某个朝代的猪文文字。根据相关文献记载，那个朝代流传的猪文文字恰为远古时期的 (1/k) ，其中 (k) 是 (n) 的一个正约数（可以是 (1) 或 (n)）。不过具体是哪 (1/k)，以及 (k) 是多少，由于历史过于久远，已经无从考证了。
(iPig) 觉得只要符合文献，每一种 (k|n) 都是有可能的。他打算考虑到所有可能的 (k)。显然当 (k) 等于某个定值时，该朝的猪文文字个数为 (n/k)。然而从 (n) 个文字中保留下 (n/k) 个的情况也是相当多的。(iPig) 预计，如果所有可能的 (k) 的所有情况数加起来为 (p) 的话，那么他研究古代文字的代价将会是 (g^p) 。
现在他想知道猪王国研究古代文字的代价是多少。由于 (iPig) 觉得这个数字可能是天文数字，所以你只需要告诉他答案除以 (999911659) 的余数就可以了。

输入格式

一行两个正整数 (n,g)。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

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(Solution)

看题解大佬们都好不屑啊...几个式子一摆就没了...我自己理解还要好一会，果然太菜了

首先，由于要从 (n) 中选出 (dfrac{n}{k}) 个，又因为 (dfrac{n}{k} | n) ，所以 (p) 就等于 (sum{k|n} C_{n}^{k})

又因为 (999911659) 是个质数，根据欧拉定理得，(g^p equiv g^{p \% 999911658} pmod{p})

接下来就求 (p \% 999911658)

发现是大组合数，可以用 (lucas) 定理，但是模数太大（ (lucas) 定理时间复杂度为 (O(plog_pn))），显然过不去

但是我们可以发现， (999911658) 可以质因数分解为 (2 * 3 * 4679 * 35617)，于是我们可以先求得在这模四个数下的 (p) ，然后用中国剩余定理最后求解

完结撒花??ヽ(°▽°)ノ?

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(Code)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define F(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++i)
using namespace std;
ll read();
const int N = 36000 + 5;
ll n, g;
ll a[4], b[4] = {2, 3, 4679, 35617}, kk = 999911658;
ll mul[N], f[N], ans;
void init(ll mod)
{
	f[0] = 1;
	F(i, 1, mod) f[i] = f[i - 1] * i % mod;
}
ll qpower(ll x, ll y, ll mod)
{
	ll res = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) res = res * x % mod;
		x = x * x % mod, y >>= 1;
	}
	return res;
}
ll C(ll n, ll m, ll mod)
{
	if(n < m) return 0;
	return f[n] * qpower(f[m], mod - 2, mod) % mod * qpower(f[n - m], mod - 2, mod) % mod;
}
ll lucas(ll n, ll m, ll mod)
{
	if(n < m) return 0;
	if(! n) return 1;
	return lucas(n / mod, m / mod, mod) * C(n % mod, m % mod, mod) % mod;
}
int main()
{
    n = read(), g = read();
    if(g % (kk + 1) == 0) 
    {
    	puts("0");
    	return 0;
	}
    F(s, 0, 3)
	{
	    init(b[s]);	
	    F(i, 1, sqrt(n))
	        if(n % i == 0)
	        {
	        	a[s] = (a[s] + lucas(n, i, b[s])) % b[s];
	        	if(i * i != n) a[s] = (a[s] + lucas(n, n / i, b[s])) % b[s];
			}	
    } 
    F(i, 0, 3) ans = (ans + a[i] * (kk / b[i]) % kk * qpower(kk / b[i], b[i] - 2, b[i])) % kk;
    printf("%lld", qpower(g, ans, kk + 1));
	return 0;
}
ll read()
{
	ll x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘) {if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar();}
	while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘) x = x * 10 + c - ‘0‘, c = getchar();
	return x * f;
}