堆结构及堆排序详解
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了堆结构及堆排序详解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
一、物理结构和概念结构
学习堆必须明确,堆有两个结构,一个是真实存在的物理结构,一个是有助于理解的概念结构。
1. 堆一般由数组实现,但是我们平时在理解堆的时候,会把他构建成一个完全二叉树结构。堆分为大根堆和小根堆:大根堆,就是这颗树里的每一个结点都是以它为根结点的树中的最大值;小根堆则与之相反。
(注意一定要是完全二叉树)
2. 物理结构:从 0 开始的数组。
怎么将数组和二叉树联系起来呢?
当一个结点在数组中的下标为 index,那么这个结点对应的父节点的下标为 ( index-1 ) / 2,左孩子的下标为 2 * index +1 ,右孩子的下标为 2 * index +2 。
上面是以 0 开始的数组中各结点对应的关系,数组也可以以 1 开始,此时父节点下标为 index / 2,左孩子下标为 2 * index,右孩子下标为 2 * index + 1。
有一个物理数组下标从 0 - 8
树结构为:
二、heapInsert
当数组中 0 ~ index -1 的位置已经是大根堆,现在添加一个元素到下标为 index ,需要怎么做才能继续保持大根堆的结构呢?
1. 将新增元素index 与 父节点 ( index-1 ) / 2 比较,若比父节点大,则与父节点交换位置;
2. 交换位置后,新增元素下标变为 父节点的下标,再与现在这个节点的父节点比较,周而复始;
3. 直至 新增节点不再比父节点大或者已经到达了根结点,则新增节点的插入位置确定
例子:现在有一个已经在 0 ~ 7 形成大根堆的数组 [ 24, 18, 20, 10, 9, 17, 8, 5 ] ,在下标为 8 的位置插入元素 22.
JAVA 实现:
public static void heapInsert(int[] arr, int index) { // 停止条件1:新增结点不再比父节点大 // 停止条件2:已经到达了整棵树的 根结点 0 ,当 index = 0,( 0-1)/2 =0,所以arr[index] 和 arr[(index - 1) / 2] 相等 while (arr[index] > arr[(index - 1) / 2]) { swap(arr, index, (index - 1) / 2); index = (index - 1) / 2; } }
public static void swap(int[] arr, int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; }
三、heapify
当将最大值 pop 出去之后,需要对这个堆进行调整,最常用的就是,将堆结构中最后一个的数提到 0 下标,然后将这个数从 0 开始下沉。
某个数在 index 位置,看是否可以往下沉。这就是 heapify。
当index 还有孩子节点时,比较左右两个节点的大小,选取节点值较大的一个,与index进行比较 ,若 子节点的值较大,父节点下沉,较大孩子上来。直至比孩子节点大或者没有孩子节点。
JAVA 实现:
public static void heapify(int[] arr, int index, int heapSize) { int left = index * 2 + 1;// 左孩子的下标 while (left < heapSize) {// 下方还有孩子的时候 // 两个孩子中,谁的值大,把下标给 largest变量 int largest = (left + 1 < heapSize) && (arr[left + 1] > arr[left]) ? left + 1 : left; // 父与较大的孩子之间,谁的值大,吧下标给 largest largest = arr[largest] > arr[index] ? largest : index; if (index == largest) { break; } swap(arr, index, largest); index = largest; left = index * 2 + 1; } }
四、堆排序(非递减)
堆排序一共分为两步,第一步是将数组构建成一个大根堆,第二步将堆结构中的根结点,也就是最大值,移到堆的最后,然后将这个结点从堆中移除。
1. 将数组构建成一个大根堆。有两种方法,但是这两种方法会有不同的事件复杂度。
(1)使用 heapInsert。index 从 1 开始(因为从 0 开始的话,只有一个元素,没有必要),直至最后一个元素 arr.length -1 ,每个元素都使用 heapInsert 的方式,逐个形成 [ 0,..., index] 的大根堆.
for (int index = 1; index < arr.length; index++) {// O(N) heapInsert(arr, index);// O(logN) }
每个元素最多向上进行 log2(N)次比较和交换,一共有 N 各元素,所以需要 O(NlogN) 的事件复杂度。
这种方法比较适合逐个向数组中添加元素,但是此时排序,传进来的是整个数组,所以我们有一种可以将事件复杂度降低为 O(N) 的方式。
(2)使用 heapify。从最后一个元素开始,不断下沉,使得以这个元素为根结点的数形成堆结构。
为什么说事件复杂度为 O(N) 呢?
Java 实现:
for (int index = arr.length - 1; index >= 0; index--) { heapify(arr, index, arr.length); }
2. 将堆结构中的根结点,也就是最大值,移到堆的最后,然后将这个结点从堆中移除。
将堆中最大值逐个放在 arr.length-1,arr.length-2,...,1 的位置。使用 heapSize 记录堆中元素得个数,将堆中最大值往后,其实就是和堆中最后一个元素(下标为 heapSIze-1)交换位置,此时最后一个元素到达根结点 0 。交换完成后 heapSize--,意味着这个元素已经排序完成并将它从堆中移除,再调用 heapify 将提到根结点 0 得元素下沉。事件复杂度为 O(logN)
int heapSize = arr.length;// 记录堆中元素的个数,如果一个数排序完成(放在堆数组的最后),就将他从堆数组中除去(heapSize--); swap(arr, 0, --heapSize);// 将堆中的最大值放在数组的最后,此时最大值排序完成,堆数组的个数减一 while (heapSize > 0) {// O(N) heapify(arr, 0, heapSize);// O(logN) swap(arr, 0, --heapSize);// O(1) }
形成堆结构,我们采用第二种方法,所以最后堆排序的代码为:
// 堆排序 public static void heapSort(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } // 形成大根堆: // O(N) for (int index = arr.length - 1; index >= 0; index--) { heapify(arr, index, arr.length); }
// 将堆中最大值逐个放在 arr.length-1,arr.length-2,...,1 的位置 // O(N*logN) int heapSize = arr.length; swap(arr, 0, --heapSize); while (heapSize > 0) {// O(N) heapify(arr, 0, heapSize);// O(logN) swap(arr, 0, --heapSize);// O(1) } }
以上是关于堆结构及堆排序详解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
挖掘算法中的数据结构:排序算法总结 和 索引堆及优化(堆结构)
14.VisualVM使用详解15.VisualVM堆查看器使用的内存不足19.class文件--文件结构--魔数20.文件结构--常量池21.文件结构访问标志(2个字节)22.类加载机制概(代码片段