从此“错位”变“裂项”，计算不再让人狂

Posted 2021-02-27 xuebajunlutiji

已知$a_n=(2n+1)2^n$，求该数列的前$n$项和$S_n.$

设(a_n=[A(n+1)+B]2^{n+1}-(An+B)2^n)，则

(Rightarrow A=2,B=-3)

(Rightarrow a_n=[2(n+1)-3]2^{n+1}-(2n-3)2^n)

(Rightarrow S_n=[2^2-(-2)]+[3cdot 2^3-2^2]+[5cdot 2^4-3cdot 2^3]+cdots+{[2(n+1)-3]2^{n+1}-(2n-3)2^n})

(Rightarrow S_n=[2(n+1)-3]2^{n+1}+2=(4n-2)2^n+2)

思考：下列各题还可以这样操作吗？

(1)已知$a_n=(An^2+Bn+C)q^n$，求该数列的前$n$项和$S_n.$

(2)已知$a_n=(An^3+Bn^2+Cn+D)q^n$，求该数列的前$n$项和$S_n.$

(3)$cdotscdots$