树的直径

Posted 2021-02-27 liumengliang

一、概念

　　在一棵树中找到距离根节点最远的两个点，这两个点之间的距离为树的直径

二、算法

　　1.求法：求树的直径的方法就是在树上任选一点u，求距离点u最远的点y，再求距离点y最远的点s，点y到点s的距离即为树的直径。

　　2.证明：假设此树的最长路径是从s到t,我们选择的点为u。反证法：假设搜到的点是v。

　　　　1、v在这条最长路径上，那么dis[u,v]>dis[u,v]+dis[v,s],显然矛盾。
　　　　2、v不在这条最长路径上，我们在最长路径上选择一个点为po，则dis[u,v]>dis[u,po]+dis[po,t]，那么有dis[s,v]=dis[s,po]+dis[po,u]+dis[u,v]>dis[s,po]+dis[po,t]=dis[s,t],即dis[s,v]>dis[s,t],矛盾。
　　　　也许你想说u本身就在最长路径，或则其它的一些情况，但其实都能用类似于上面的反证法来证明的。
　　　　综上所述，你两次dfs(bfs)就可以求出最长路径的两个端点和路径长度。
（注：该证明引自原文链接：https://blog.csdn.net/qianguch/java/article/details/78216860）

对于每个节点我们要记录两个值：

f1 [ i ] 表示以 i 为根的子树中，i 到叶子结点距离的最大值

f2 [ i ] 表示以 i 为根的子树中，i 到叶子结点距离的次大值

对于一个节点，它到叶子结点距离的最大值和次大致所经过的路径肯定是不一样的

若j是i的儿子，那么（下面的 w [ i ][ j ] 表示 i 到 j 的路径长度）：

若 f1 [ i ] < f1 [ j ] + w [ i ][ j ]，f2 [ i ] = f1 [ i ]，f1 [ i ] = f1 [ j ] + w [ i ][ j ]；
否则，若 f2 [ i ] < f1 [ j ] + w [ i ][ j ]，f2 [ i ] = f1 [ j ] + w [ i ][ j ]； 
理解：这样做就是，先看能否更新最大值，若能，它的次大值就是原先的最大值，再更新它的最大值；若不能，就看能不能更新次大值，若能，就更新，不能就不管它

这样的话，最后的答案 answer = max { f1 [ i ] + f2 [ i ] }
引自：https://blog.csdn.net/forever_dreams/java/article/details/81051578