[TJOI2019]唱，跳，rap，篮球（生成函数，组合数学，NTT）

Posted 2020-11-13 1000suns

算是补了个万年大坑了吧。

根据 wwj 的题解（最准确），设一个方案 (S)（不一定合法）的鸡你太美组数为 (w(S))。

答案就是 (sumlimits_{S}[w(S)=0])。

用二项式定理：(sumlimits_{S}[w(S)=0]=sumlimits_{S}(1-1)^{w(S)}=sumlimits_{S}sumlimits_{ige 0}(-1)^iinom{w(S)}{i}=sumlimits_{ige 0}(-1)^isumlimits_{S}inom{w(S)}{i})。

后面那个求和号，就是求对于所有方案，从鸡你太美组数中选出 (i) 组的方案数之和。

枚举被选出的组的位置，这里一共有 (inom{n-3i}{i}) 种方案。（捆绑，一共有 (n-3i) 个人，其中 (i) 个人是鸡你太美）

剩下的排列方案，枚举每种爱好的人分别有多少个，(sumlimits_{wle a-i}sumlimits_{xle b-i}sumlimits_{yle c-i}sumlimits_{zle d-i}[w+x+y+z=n-4i]frac{(n-4i)!}{w!x!y!z!})。

明显是个卷积，对每个 (i) 做一遍 NTT 就好了。

时间复杂度 (O(n^2log n))。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int maxn=2222,mod=998244353;
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline ll read(){
    char ch=getchar();ll x=0,f=0;
    while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int n,a,b,c,d,fac[maxn],invfac[maxn],A[maxn],B[maxn],C[maxn],D[maxn],F[maxn],lim,l,rev[maxn],ans;
int qpow(int a,int b){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
    return ans;
}
void init(int upr){
    for(lim=1,l=0;lim<upr;lim<<=1,l++);
    FOR(i,0,lim-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); 
}
void NTT(int *A,int tp){
    FOR(i,0,lim-1) if(i<rev[i]) swap(A[i],A[rev[i]]);
    for(int i=1;i<lim;i<<=1)
        for(int j=0,Wn=qpow(3,mod-1+tp*(mod-1)/(i<<1));j<lim;j+=i<<1)
            for(int k=0,w=1;k<i;k++,w=1ll*w*Wn%mod){
                int x=A[j+k],y=1ll*A[i+j+k]*w%mod;
                A[j+k]=(x+y)%mod;
                A[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
    if(tp==-1){
        int linv=qpow(lim,mod-2);
        FOR(i,0,lim-1) A[i]=1ll*A[i]*linv%mod;
    }
}
int calc(int x){
    init(a+b+c+d-4*x);
    FOR(i,0,lim-1) A[i]=B[i]=C[i]=D[i]=0;
    FOR(i,0,a-x) A[i]=invfac[i];
    FOR(i,0,b-x) B[i]=invfac[i];
    FOR(i,0,c-x) C[i]=invfac[i];
    FOR(i,0,d-x) D[i]=invfac[i];
    NTT(A,1);NTT(B,1);NTT(C,1);NTT(D,1);
    FOR(i,0,lim-1) F[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod*C[i]%mod*D[i]%mod;
    NTT(F,-1);
//  printf("calc(%d),f=%d,fac=%d
",x,F[n-4*x],fac[n-4*x]);
    return 1ll*fac[n-4*x]*F[n-4*x]%mod; 
}
int CCC(int n,int m){
    return 1ll*fac[n]*invfac[m]%mod*invfac[n-m]%mod;
}
int main(){
    n=read();a=read();b=read();c=read();d=read();
    fac[0]=1;
    FOR(i,1,n) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    invfac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    ROF(i,n-1,0) invfac[i]=1ll*invfac[i+1]*(i+1)%mod;
    FOR(i,0,min(n/4,min(a,min(b,min(c,d))))){
        int s=1ll*CCC(n-3*i,i)*calc(i)%mod;
//      printf("s=%d
",s);
        if(i%2==0) ans=(ans+s)%mod;
        else ans=(ans-s+mod)%mod;
    }
    printf("%d
",ans);
}