P2279 消防局的设立 （树形DP or 贪心）

Posted 2020-11-13 winter-bamboo

（点击此处查看原题）

树形DP写法

看到这个题的要求，很容易相到这是一个树形DP的问题，但是dp数组应该如何设计并转移才是关键

dp[i][0]代表当前结点可以向上覆盖2层，自身一定被覆盖
dp[i][1]代表当前结点可以向上覆盖1层，自身一定被覆盖
dp[i][2]代表当前结点可以向上覆盖0层，自身一定被覆盖
dp[i][3]代表当前结点可以向下覆盖1层，表示自己不一定被覆盖，但是儿子一定全部被覆盖
dp[i][4]代表当前结点可以向下覆盖2层，表示自己不一定被覆盖，但是孙子一定全部被覆盖

所谓向上覆盖x层，即当前结点向上x个结点（祖先结点）作为根结点的树被完全覆盖的情况下，最少需要设立的消防站数目
所谓向下覆盖x层，即当前结点向下x个结点（后代结点）作为根结点的树被完全覆盖的情况下，最少需要设立的消防站数目

显然满足
dp[i][0] >= dp[i][1] >= dp[i][2] >= dp[i][3] >= dp[i][4]

dp[u][0] = 1 + min(dp[v][0~4])
如果当前结点想要覆盖向上2层，则自身必然安置一个消防站，而u所有子节点就随意了

dp[u][1] = min{ dp[v][0] + ∑dp[e][0~3] , dp[u][0] }
覆盖到当前结点上1层，有两种情况：
1）在其子节点安置了至少一个消防站，这样一来，不仅覆盖了当前结点上一层的结点，而且
安置了消防站的子节点将覆盖他的兄弟结点，所以其兄弟结点至少保证自身子节点被完全覆盖即可
2）当前结点安置消防站，覆盖了上两层的同时，也可以覆盖当前结点上一层

dp[u][2] = min{dp[v][1] + ∑dp[e][2],dp[u][1],dp[u][0]}
覆盖到当前结点上0层，分三种情况
1）刚好覆盖到当前结点，则至少选择一个当前结点的孙子结点，由于这个消防站无法覆盖到当前结点的其他子节点，
那么其余结点至少保证自身被覆盖即可
2）可以覆盖到当前结点向上一层，同时覆盖了当前结点的子孙结点，此时即在当前结点的子节点设立消防站
3）可以覆盖到当前结点向上二层，同时覆盖了当前结点的子孙结点，此时即在当前结点设立消防站

dp[u][3] = ∑dp[v][2]
覆盖当前结点所有的子节点，则保证当前结点的所有子节点被覆盖

dp[u][4] = ∑dp[v][3]
覆盖当前结点所有的孙子节点，则保证当前结点的所有子节点的子节点被覆盖

最后，为了覆盖整棵树，我们输出dp[1]0]即可

代码区

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include <map>
#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl
#define show(x, y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "
#define LOCAL = 1;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 1e9 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
const int Max = 1e3 + 10;

int n, m, k;
int head[Max], tot;
int to[Max], Next[Max];
int dp[Max][5];

/*
 * dp[i][0]代表当前结点可以向上覆盖2层，自身一定被覆盖
 * dp[i][1]代表当前结点可以向上覆盖1层，自身一定被覆盖
 * dp[i][2]代表当前结点可以向上覆盖0层，自身一定被覆盖
 * dp[i][3]代表当前结点可以向下覆盖1层，表示自己不一定被覆盖，但是儿子一定全部被覆盖
 * dp[i][4]代表当前结点可以向下覆盖2层，表示自己不一定被覆盖，但是孙子一定全部被覆盖
 *
 * 所谓向上覆盖x层，即当前结点向上x个结点（祖先结点）作为根结点的树被完全覆盖的情况下，最少需要设立的消防站数目
 * 所谓向下覆盖x层，即当前结点向下x个结点（后代结点）作为根结点的树被完全覆盖的情况下，最少需要设立的消防站数目
 *
 * 显然满足
 * dp[i][0] >= dp[i][1] >= dp[i][2] >= dp[i][3] >= dp[i][4]
 *
 * dp[u][0] = 1 + min(dp[v][0~4])
 * 如果当前结点想要覆盖向上2层，则自身必然安置一个消防站，而u所有子节点就随意了
 *
 * dp[u][1] = min{ dp[v][0] + ∑dp[e][0~3] , dp[u][0] }
 * 覆盖到当前结点上1层，有两种情况：
 * 1）在其子节点安置了至少一个消防站，这样一来，不仅覆盖了当前结点上一层的结点，而且
 * 安置了消防站的子节点将覆盖他的兄弟结点，所以其兄弟结点至少保证自身子节点被完全覆盖即可
 * 2）当前结点安置消防站，覆盖了上两层的同时，也可以覆盖当前结点上一层
 *
 * dp[u][2] = min{dp[v][1]  +  ∑dp[e][2],dp[u][1],dp[u][0]}
 * 覆盖到当前结点上0层，分三种情况
 * 1）刚好覆盖到当前结点，则至少选择一个当前结点的孙子结点，由于这个消防站无法覆盖到当前结点的其他子节点，
 * 那么其余结点至少保证自身被覆盖即可
 * 2）可以覆盖到当前结点向上一层，同时覆盖了当前结点的子孙结点，此时即在当前结点的子节点设立消防站
 * 3）可以覆盖到当前结点向上二层，同时覆盖了当前结点的子孙结点，此时即在当前结点设立消防站
 *
 * dp[u][3] = ∑dp[v][2]
 * 覆盖当前结点所有的子节点，则保证当前结点的所有子节点被覆盖
 *
 * dp[u][4] = ∑dp[v][3]
 * 覆盖当前结点所有的孙子节点，则保证当前结点的所有子节点的子节点被覆盖
 *
 * 最后，为了覆盖整棵树，我们输出dp[1]0]即可
 */

void add(int u, int v)
{
    to[tot] = v;
    Next[tot] = head[u];
    head[u] = tot++;
}

void dfs(int u)
{
    dp[u][0] = 1;
    dp[u][1] = inf;
    dp[u][2] = inf;
    dp[u][3] = 0;
    dp[u][4] = 0;
    for (int i = head[u]; i != -1; i = Next[i])
    {
        int v = to[i];
        dfs(v);
        dp[u][0] += dp[v][4];
        dp[u][3] += dp[v][2];
        dp[u][4] += dp[v][3];
    }
    if (head[u] == -1)                //没有子节点了，此时dp[u][0~2]必须使得u安置消防站
    {
        dp[u][1] = dp[u][2] = 1;
        return;
    }
    for (int i = head[u]; i != -1; i = Next[i])
    {
        int v = to[i];

        int sum1 = 0, sum2 = 0;        //记录∑dp[e][3]和∑dp[e][4]
        for (int j = head[u]; j != -1; j = Next[j])
        {
            int e = to[j];
            if (e == v)
                continue;
            sum1 += dp[e][3];
            sum2 += dp[e][2];
        }
        dp[u][1] = min(dp[u][1], dp[v][0] + sum1);
        dp[u][2] = min(dp[u][2], dp[v][1] + sum2);
    }
    for (int i = 1; i <= 4; i++)    //最后综合处理一下
        dp[u][i] = min(dp[u][i], dp[u][i - 1]);
}

int main()
{
#ifdef LOCAL
//    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    memset(head, -1, sizeof(head));
    tot = 0;

    scanf("%d", &n);
    for (int v = 2, u; v <= n; v++)
        scanf("%d", &u), add(u, v);
    dfs(1);
    printf("%d
", dp[1][2]);
    return 0;
}

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---

贪心写法（适用于在树种，求点覆盖半径为k的最小点覆盖）

其实这种解法对于这一类型的题目非常的适合，主要体现在不需要像树形DP一样确定状态并且易于理解，这种解法的思想如下：

我们用dis[i]表示结点i到最近的消防站的最短距离，如果dis[i] > k ，说明结点i不在已存在的消防站的覆盖范围内，为了保证消防站利用率最大化，我们在结点i向上第k个结点，记作x，也就是结点i覆盖的极限范围出处设立消防站，这样一来不仅使得结点i被覆盖，还可以覆盖更多的结点，然后我们更新x向上k层范围内所有结点的dis，即更新各点到消防站的最近距离，重复这一过程，统计消防站的数目即可

代码区

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include <map>
#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl
#define show(x, y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "
#define LOCAL = 1;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 1e9 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
const int Max = 1e3 + 10;

struct Node
{
    int depth;                //记录当前结点深度
    int id;                    //记录结点编号
} node[Max];

int n, k;
int dis[Max];                //dis[i]记录结点i到最近的消防站的最近距离
int fa[Max];                //dp[i]记录i的父节点

bool cmp(Node node1, Node node2)
{
    return node1.depth > node2.depth;
}

int main()
{
#ifdef LOCAL
    //    freopen("input.txt", "r", stdin);
    //    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    scanf("%d", &n);

    k = 2;                              //结点覆盖半径为2，根据实际情况改变

    node[1].depth = 0;
    node[1].id = 1;
    dis[0] = dis[1] = inf;              //处理根结点（这里灵活建图即可）

    for (int v = 2, u; v <= n; v++)
    {
        scanf("%d", &u);                //构建的边为 u --> v
        node[v].depth = node[u].depth + 1;
        node[v].id = v;
        fa[v] = u;
        dis[v] = inf;
    }
    sort(node + 1, node + 1 + n, cmp);
    int sum = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int son = node[i].id;
        int now = node[i].id;           //当前结点

        for (int j = 1; j <= k; j++)    //处理出k个祖先结点到当前结点的最佳距离
        {
            now = fa[now];
            dis[son] = min(dis[son], dis[now] + j);
        }

        if (dis[son] > k)                //代表每个结点覆盖半径k
        {
            dis[now] = 0;                //此处总是在最远祖先处设立消防站
            sum++;
            for (int j = 1; j <= k; j++) //之后由最远祖先结点向上k层更新其余点的距离
            {
                now = fa[now];
                dis[now] = min(dis[now], j);
            }
        }
    }
    printf("%d
", sum);
    return 0;
}

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