[bzoj5416]冒泡排序

Posted 2020-11-13 pywbktda

结论：一个序列是好序列当且仅当其不存在长度为3的下降子序列

证明：考虑提示，一个长度为3的下降子序列必然会交换三次，

而这三次带来的收益实际上只有2，因此不合法

同时还可以得到：第i个数，要么是前缀最大值，要么是之前的mex

（即要么让他之前没有比他大的，要么让他之后没有比他小的）

用f[i][j]表示剩余i个数，当前最大值为n-j的填写方案（先不考虑字典序）

根据上述结论，得到递推式：$f[i][j]=sum_{k=0}^{j}f[i-1][k]$，其中f[0][0]=1

即$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]$，解得$f[i][j]=c(i+j,j)-c(i+j,j-2)$（构造的方法：发现任意个c(i+j+k1,j+k2)都符合，再把常数配出来即可）

先预处理阶乘及逆元，然后就可以快速计算f了，之后枚举i，并求出：1.i之前与p相同；2.i位置上比p大的好序列个数

设i之前的最大值是x，mex是y，分别考虑填新最大值和k的贡献，有$ans+=f[n-i][n-x]cdot [p[i]<yle x]+f[n-i+1][n-max(x,p[i])-1]$，累计即可

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define mod 998244353
 4 #define N 1200005
 5 int t,n,k,x,y,ans,vis[N],fac[N],inv[N];
 6 int c(int n,int m){
 7     if (m<0)return 0;
 8     return 1LL*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
 9 }
10 int f(int n,int m){
11     return (c(n+m,m)-c(n+m,m-1)+mod)%mod;
12 }
13 int main(){
14     fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
15     for(int i=1;i<N-4;i++)fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
16     for(int i=2;i<N-4;i++)inv[i]=1LL*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
17     for(int i=2;i<N-4;i++)inv[i]=1LL*inv[i-1]*inv[i]%mod;
18     scanf("%d",&t);
19     while (t--){
20         scanf("%d",&n);
21         x=ans=0;
22         y=1;
23         for(int i=1;i<=n+1;i++)vis[i]=0;
24         for(int i=1;i<=n;i++){
25             scanf("%d",&k);
26             if ((k<y)&&(y<=x))ans=(ans+f(n-i,n-x))%mod;
27             x=max(x,k);
28             if (x<n)ans=(ans+f(n-i+1,n-x-1))%mod;
29             if ((k!=x)&&(k!=y)){
30                 for(i++;i<=n;i++)scanf("%*d");
31                 break;
32             }
33             vis[k]=1;
34             while (vis[y])y++;
35         }
36         printf("%d
",ans);
37     }
38 }

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