12、13届noip中的题目……急求解【要过程】
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了12、13届noip中的题目……急求解【要过程】相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
1.给定n 个有标号的球,标号依次为1,2,…,n。将这n 个球放入r 个相同的盒子里,不允许
有空盒,其不同放置方法的总数记为S(n,r)。例如,S(4,2)=7,这7 种不同的放置方法依次为
(1),(234), (2),(134), (3),(124), (4),(123), (12),(34), (13),(24),
(14),(23)。当n=7,r=4 时,S(7,4)= _____________。
2.N 个人在操场里围成一圈,将这N 个人按顺时针方向从1 到N 编号,然后,从第一个人起,每
隔一个人让下一个人离开操场,显然,第一轮过后,具有偶数编号的人都离开了操场。依次做下去,直
到操场只剩下一个人,记这个人的编号为J(N) ,例如,J(5)=3 ,J(10)=5 ,等等。则
J(400)=______________。
(提示:对 N=2m+r 进行分析,其中 0≤r<2m )。
1.将2006个人分成若干不相交的子集,每个子集至少有3个人,并且:
(1)在每个子集中,没有人认识该子集的所有人。
(2)同一子集的任何3个人中,至少有2个人互不认识。
(3)对同一子集中任何2个不相识的人,在该子集中恰好只有1个人认识这两个人。
则满足上述条件的子集最多能有___________个?
n个有区别的球放到m个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数用S(n,m)表示,称为第二类Stirling数
设有n个不同的球,分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn,bn的放法有以下两种:
1)bn独自占一个盒子;那么剩下的球只能放在m-1个盒子中,方案数为 S(n-1,m-1)
2)bn与别的球共占一个盒子;那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个盒子中,然后再将球bn可以放入其中一个盒子中,方案数为 m*S(n-1,m)
S(n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1) (n>1,m>1)
边界条件:S2(n,1)=1;S2(n,n)=1;S2(n,k)=0(k>n)
2.289人
把N写成2的K次方加X的形式
则J[N]=2X+1
400=2的8次方加144
所以是第2*144+1=289个人
3.取其中一个满足要求的子集A来分析:
A={a1,a2,a3...an (n>=3)}
a1,a2,a3中至少有2个人互不认识 ,假设a1和a2不认识!
则:A中必只有一个人am认识a1和a2!
而A中除了am所有的人都不认识a1和a2!
再看看,认识am的人都有谁,显然a1和a2认识!
若还存在一个am1认识am,则:am1不认识a1,不认识a2
所以:A中必定有且只有一个am2认识am1和a1!
而上面我们说到A中除了am所有的人都不认识a1和a2!
所以我们假设的am1不成立!
换言之,认识am的人就只有a1和a2!
假设集合中的另一个元素am3,显然他不认识am,
那么显然根据(3),集合中必有一个人认识am,和am3
而我们说了认识am的人就只有a1和a2!
所以我们假设的am3不成立!
所以A中只能有3个元素!{a1,a2,am}
但是这样的话am就认识了集合中的所有人,不符合(1)
所以这样的子集是不存在的! 参考技术A 第一题是第二类斯特林数
第三题每个子集最少5人,所以子集至多有401个 参考技术B 1.解法一:递推公式S(x,y)=S(x-1,y)*y+S(x-1,y-1)。因为把X个球放入Y个箱子,相当于先把X-1个球放好再放最后一个。最后一个有两种放法:放入前面已经有球的箱子或者独占一个箱子。前者对应S(x-1,y)*y (放入每一个不同的箱子都是一种不同的放法,因为箱子内原来的球不同),后者对应S(x-1,y-1)。
解法二:将这n 个球放入r 个相同的盒子里,不允许有空盒,因为是"相同的盒子",所以是一个组合问题.既将n个球分成r份.这样当n=7,r=4时,将7个球分成4份,有三种分法:(1)分为4,1,1,1(2)分为3,2,1,1(3)分为2,2,2,1
第一种分法有C(7,4)=35种
第二种分法有C(7*3)*C(4,2)=210种
第三种分法有C(7,2)*C(5,2)*C(3,2)/A(3,3)=105种
S(7,4)= C(7,4)+C(7,3)*C(4,2)+C(7,2)*C(5,2)*C(3,2)/A(3,3)=350
C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数
A(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的排列数
2.解:若N是满足2^m<=N<2^(m+1)的正整数,N=2^m+r,其中0<=r<2^m;(1)当N=2^m时,明显地,每一轮让人离去时,由于这轮总人数都是2的倍数,编号为1的将总保留在操场上直到最后一轮场上只剩下1号一人为止,即J(N)=J(2^m)=1;(2)当N=2^m+r,r>0时,我们通过比较得出J(N)-J(N-1)=2.这是因为:当r-1为奇数时,操场上N-1个人,在第一轮中,编号为1,3,5,……,2^m+r-1的共2^(m-1)+r/2个人将不会离去,下一轮中,首先离去的将是1号,剩下的将会是编号为3,7,11,……等等;而当总的人数增加1人成为N=2^m+r人时,因N为偶数,那么在第一轮后同样留下编号为1,3,5,……,2^m+r-1的2^(m-1)+r/2个人,只不过下一轮中,1号将仍保留在操场上,使操场上人员编号成为:1,5,9,……等等。因此,对于总人数为N-1的情况(记为情形I)下第一轮后编号1,3,5,……,2^m+r-1首先去掉1与 对于总人数为N的情况(记为情形II)下第一轮后编号3,5,……,2^m+r-1,1首先去掉3相比,若情形I下最后所留编号为k,那么对应地,情形II下最后所留编号将一定是k+2(注:k不会为1)。即J(N)-J(N-1)=k+2-k=2.另外,当r-1是偶数时,操场上N-1个人,在第一轮中,编号为1,3,5,……,2^m+r-2的共2^(m-1)+(r-1)/2个人将不会离去,下一轮中,首先离去的将是3号,剩下的将会是编号为1,5,9,……(情形III)等等;而当总人数增加人成为N=2^m+r人时,N为奇数,第一轮后场上留下编号为1,3,5,……,2^m+r不会离去,下轮中首先离去的是1号,剩下3,7,11,……(情形IV)等等。情形IV中人数与情形III中人员编号都大2,同样若干轮后,若III中最后留下号码是k,那么IV中留下的编号将也是k+2,即,J(N)-J(N-1)=2.由以上分析,知,J(2^m),J(2^m+1),……,J(2^(m+1)-1)成等差数列,首项为1,公差为2,故J(N)=J(2^m+r)=1+2r.利用上述结果,因400在256=2^8与512=2^9之间,400=2^8+144因此,J(400)=2*144+1=289.本回答被提问者采纳
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