冒泡排序的交换次数 (树状数组)

Posted 2020-11-13 tianwell

计算冒泡排序的交换次数：

逆序数概念:在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序

一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。 所以冒泡排序结束即是所有的逆序数为0

思路：

暴力：我们可以开一个vis[]数组记录 在遍历到第 i 位时，已经出现的值有哪些。然后遍历到 arr[i] （第i位的值），得到小于arr[i] 的出现个数(即 i<j && arr[i]<= arr[j]的个数)

然后再用当前长度 i 减去符合条件个数即得打 arr[i]的逆序个数。

优化：由于每次都要对小于 arr[i]的出现元素遍历，我们就希望能够开一个数组 记录arr[i]之前出现的符合条件个数(这样就不用每次都遍历一次取求)

那么对于单点更新，求区间和 ，我们就可以借助 树状数组 这个数据结构。所以就利用 树状数组进行优化。 

操作：

求出数列种每一个数的逆序数求和
遍历a[i],a[i]再bit[i]中对应的值加一
记录每个值出现前小于自身，自身出现次数
遍历到j时a[j]前有j个数，即小于自身个数有bit[j]个
逆序数为 j - bit[j]

//计算冒泡排序的交换次数：
//逆序数概念,冒泡排序结束即是所有的逆序数为0
//思路：求出数列种每一个数的逆序数求和
//遍历a[i],a[i]再bit[i]中对应的值加一
//记录每个值出现前小于自身，自身出现次数
//遍历到j时a[j]前有j个数，即小于自身个数有bit[j]个
//逆序数为 j - bit[j]
#include <bits/stdc++.h>
#define ios ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
#define mp make_pair
#define Accept 0
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const double Pi = acos(-1.0);
const double esp = 1e-9;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5+7;
const int maxm = 1e6+7;
const int mod = 1e9+7;
const int MAXL = 1e6+7;

int n;
int bit[maxn];
int arr[maxn];
int vis[maxn]; 
//求和即是从i开始，将其二进制最低位的1去掉，直到变为0
//前i项和 
int sum(int i){
    int s = 0;
    while(i>0){
        s += bit[i];
        i -= i & -i;
    }
    return s;
}
//单点跟新，将第i位增加x,将最低为的非0幂加到对应的幂上
void add(int i,int x){
    //bit[i] = x; 单点修改
    //i += i & -i;
    while(i<=n){
        bit[i] += x;
        i += i & -i;
    }
}
void solve(){
    int ans = 0;
    for(int j = 0;j<n;j++){
        ans += j - sum(arr[j]);
        add(arr[j],1);
    }
//暴力的解法
//    for(int i=0;i<n;i++){
//        int cnt = 0;
//        for(int j=0;j<arr[i];j++){
//            if(vis[j]) cnt++;
//        }
//        ans += i - cnt;
//        vis[arr[i]] =1; 
//    }
    printf("%d
",ans);
}
int main(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&arr[i]);
    }
    solve();
    return 0;             
}