268.和算法执行时间相关的因素

Posted 2020-11-13 zanderzhao

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了268.和算法执行时间相关的因素相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1.决定因素

1.1算法选用的策略

1.2问题的规模

1.3编写程序的语言

1.4编译程序产生的机器代码的质量

1.5计算机执行指令的速度

2.其他影响元素

3.问题的规模（时间复杂度）

3.1定义

　　一个特定算法的“运行工作量”的大小，?只依赖于问题的规模（通常用整数量n表示），?或者说，它是问题规模的函数。??

　　假如，随着问题规模 n 的增长，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，?则可记作：T (n) = O(f(n)), 称T (n) 为算法的(渐近)时间复杂度。???

　　一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，算法的运行时间取决于两者的综合效果。

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3.2估算算法的时间复杂度

（Time Complexity）?

3.2.1定义

　　从算法中选取一种对于所研究的问题来说是基本操作的原操作，?以该基本操作在算法中重复执行的次数作为算法运行时间的衡量准则。

　　?“基本操作” 指的是，该操作重复执行次数和算法的运行时间成正比。

　　算法的执行时间=∑原操作(i)的执行次数×原操作(i)的执行时间

　　详细?算法的执行时间与原操作执行次数之和成正比

　　算法= 控制结构+ 原操作（固有数据类型的操作）

1两个矩阵相乘
??eg1:两个矩阵相乘?
void mult(inta[], int b[], int&c[] ) ?{
// 以二维数组存储矩阵元素，c为 a 和 b的乘积
    for (i=1; i<=n; ++i){? 
        for(j=1; j<=n; ++j) ?{ 
            c[i,j] = 0; 
            for(k=1; k<=n; ++k) 
                c[i,j] += a[i,k]*b[k,j]; 
            } 
    }
} 基本操作: 乘法操作时间复杂度:  O(n^3)

2选择排序

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3起泡排序

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4有如下递归函数fact(n)，分析其时间复杂度
int fact(int n){ 
?if(n<=1) return(1);                (1) 
else return(n*fact(n-1));        (2）
}
解：设fact(n)的运行时间复杂函数是T(n)，?
     该函数中语句(1)的运行时间是O(1),?
     语句(2)的运行时间为：T(n-1)+O(1),
     其中O(1)为基本运算时间，?
因此：  T(n) = O(1)+T(n-1)
            = O(1)+O(1)+T(n-2)
            = …… 
            = (n-1)*O(1)+T(1) 
            = n*O(1) 
            = O(n)则fact(n)的时间复杂度为O(n)。??

3.2.2分析算法时间复杂度的一般步骤

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3.2.3渐进符号

　　设n为算法中的问题规模，通常用大O、大Ω和Θ等三种渐进符号表示算法的执行时间与n之间的一种增长关系。

3.2.3.1 大O符号

定义

　　定义1（大O符号），f(n)=O(g(n))（读作“f(n)是g(n)的大O”）当且仅当存在正常量c和n0，使当n≥n0时，f(n)≤cg(n)，即g(n)为f(n)的上界。

　如3n+2=O(n)，因为当n≥2时，3n+2≤4n。
　10n2+4n+2=O(n4)，因为当n≥2时，10n2+4n+2≤10n4。

　　大O符号用来描述增长率的上界，表示f(n)的增长最多像g(n) 增长的那样快，也就是说，当输入规模为n时，算法消耗时间的最大值。这个上界的阶越低，结果就越有价值，所以，对于10n²+4n+2，O(n²)比O(n⁴) 有价值。

　　一个算法的时间用大O符号表示时，总是采用最有价值的g(n)表示，称之为“紧凑上界”或“紧确上界”。

　　一般地，如果有

常用的几种时间复杂度的关系

说明：

1.在难以精确计算基本操作执行次数（或语句频度）的情况下，只需求出它关于n的增长率或阶即可2.一个算法的时间复杂度可以具体分为最好、最差（又称最坏）和平均三种情况讨论。?

除特别说明外，正常均指最坏情况下的时间复杂度。

例子

1两个矩阵相乘
??eg1:两个矩阵相乘?
void mult(inta[], int b[], int&c[] ) ?{
// 以二维数组存储矩阵元素，c为 a 和 b的乘积
    for (i=1; i<=n; ++i){? 
        for(j=1; j<=n; ++j) ?{ 
            c[i,j] = 0; 
            for(k=1; k<=n; ++k) 
                c[i,j] += a[i,k]*b[k,j]; 
            } 
    }
} 基本操作: 乘法操作时间复杂度:  O(n^3)

2选择排序

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3起泡排序

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4有如下递归函数fact(n)，分析其时间复杂度
int fact(int n){ 
?if(n<=1) return(1);                (1) 
else return(n*fact(n-1));        (2）
}
解：设fact(n)的运行时间复杂函数是T(n)，?
     该函数中语句(1)的运行时间是O(1),?
     语句(2)的运行时间为：T(n-1)+O(1),
     其中O(1)为基本运算时间，?
因此：  T(n) = O(1)+T(n-1)
            = O(1)+O(1)+T(n-2)
            = …… 
            = (n-1)*O(1)+T(1) 
            = n*O(1) 
            = O(n)则fact(n)的时间复杂度为O(n)。??

3.2.3.2 大Ω符号

　　定义2（大Ω符号），f(n)= Ω(g(n))（读作“f(n)是g(n)的大Ω”）当且仅当存在正常量c和n_θ，使当n≥n0时，f(n)≥cg(n)，即g(n)为f(n)的下界。

　　如3n+2=Ω(n)，因为当n≥1时，3n+2≥3n。
　　10n²+4n+2=Ω(n²)，因为当n≥1时，10n²+4n+2≥n²。　　

　　大Ω符号用来描述增长率的下界，表示f(n)的增长最少像g(n) 增长的那样快，也就是说，当输入规模为n时，算法消耗时间的最小值。
与大O符号对称，这个下界的阶越高，结果就越有价值，所以，对于10n2+4n+2，Ω(n²)比Ω(n) 有价值。一个算法的时间用大Ω符号表示时，总是采用最有价值的g(n)表示，称之为“紧凑下界”或“紧确下界”。

　　一般地，如果，有。