函数连续可能有间断点~

Posted 2021-02-22 hmy-666

最近在学习高数内容，之前的学习都是应付式，现在准备深一点研究。

从我们人的直接来说，如果一条线段是连续的，那它必然是光滑且没有断裂。

（1）函数连续的定义

但是高数中，函数的连续定义如下：

 

 可以看出，高等数学中，对连续是针对点而言的，也就是说，如果你要说明某个范围内，函数连续，那么它必须在这个范围内每一个点都得符合上述定义。

 

 也就是说，左极限=右极限=该点函数值，则该点连续。

 

（2）函数间断的定义分成下面三种情况

 

情况1：

 

 

 

 函数在圆圈处没有定义，该点为间断点。

情况2：

 

 

 

 

因为左极限不等于右极限，所以该点极限不存在，该点为间断点。

 

情况3：

 

 

 

 左右极限存在，所以该点有极限，但是该点极限与函数该点值不等，所以该点为间断点。

 

上述说明的间断点都存在左右极限，所以数学上把左右极限存在的这种间断点统一称为第一类间断点

除了第一类间断点，其它的都是第二类间断点。

 

 

下面贴几张第二类间断点的图像：

 

 左右极限不存在，第二类间断点

 

 该函数来回波动，没有极限，第二类间断点

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------看了连续的基本概念和间断的基本定义，那么来思考这道题：

 

 看一下它的图像：

 

 

猛然一看是不是觉得它间断了？没错的确是间断了，那它间断点是哪个，一眼就看出是0了。

那它是不是连续函数呢？我们固有的思维都认为，连续一定是光滑的，不间断的。但是我告诉你它是连续函数，连续，连续，连续！

为什么呢？你回头去看看函数连续的定义。首先要明确函数的取值范围，由于（1/x）在0没有意义，固然在0无定义，所以取值范围排除0，然后再观察函数图像，它处处连续。

所以它是连续函数。

 

结论：说白了，当讨论一个函数是不是连续，首先得明确函数连续的定义。而看一个函数是否间断，你可以不用去看函数在某点是否有定义，你直接观察它是否间断了就好。

所以函数连续，可能有间断点。你也可以直接认为，函数连续与它是否有间断点没有关系。也就是一个函数连续可能有间断点，有间断点的函数可能是连续函数。