进制与转换

Posted 2021-02-22 beimingdaoren

进制与转换

1、为什么要使用进制数？

数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，就是像<黑客帝国>电影中那些0101010...的数字。

我们操作计算机,实际就是使用程序和软件在计算机上各种读写数据。

如果我们直接操作二进制的话，面对这么长的数进行思考或操作，没有人会喜欢。

用16进制或8进制可以解决这个问题。

因为，进制越大，数的表达长度也就越短。

之所以使用16或8进制，而不其它的，诸如9或20进制。是因为2、8、16， 分别是2的1次方、3次方、4次方。 这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。

8进制或16进制既缩短了二进制数，还能保持了二进制数的表达特点。转换还方便。

现在2进制、16进制比较常见，8进制在逐渐淘汰。

 

2、进制的介绍

• 10进制
  我们最熟悉的10进制，就是用0~9的数表示逢10进1。
• 16进制
  　如果是16进制，它就是由0-9，A-F组成，与10进制的对应关系是：0-9 对应0-9；A-F对应10-15。（字母不区分大小写）
• 2进制和8进制 
  2进制由0和1组成，逢2进1，例如2进制数：10，用10进制表达为：2
  8进制由0~7组成，逢8进1，例如8进制数：10,用10进制表达为：8

二进制数，前缀是0b；八进制数，前缀是0o；十六进制数，前缀是0x

 

3、二进制与十进制之间的转换

3.1、十进制转二进制

方法为：十进制数除2取余法，即十进制数除2，余数为权位上的数，得到的商值继续除2，依此步骤继续向下运算直到商为0为止。

 

 

3.2、二进制转十进制 

方法一为：把二进制数按权展开、相加即得十进制数。

 

方法二：举证，把最高位逐一往低位强行进行降位。

 

（额，图片丑了点，嘿嘿）

 

3.3、十进制小数转二进制

十进制小数转换成二进制小数采用 “乘2取整，顺序排列” 法。具体做法是：

用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数 部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。

然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

 

4、二进制与十六进制之间的转换

4.1、二进制转十六进制

方法：十六进制是取四合一，从右往左，每4个一组提出来，用二进制转十进制方法进行转换，最后连接每组。

注意事项：4位二进制转成十六进制是从右到左开始转换，不足时补0。最右边数0-9 对应0-9；A-F对应10-15。

 

4.2、十六进制转二进制

方法：十六进制也是取一分四，从右往左，每4个一组提出来，用十进制转二进制方法进行转换，最后连接每组。

 

5、补码

正数的补码和它的原码的形式是相同的。

负数的补码形式：将该数值的绝对值的二进制形式，按位取反为反码后，再加1。

为什么使用补码的形式来将数据存放在计算机底层：

使用补码，就可以把减法运算转换为加法，也就是说在计算机底层本质上没有减法是硬件实现，都是加法，降低硬件的设计难度，易于实现！

分析-下为什么用补码:

假设字长为8blts

完成 1-1 =0：

1 - (1)
= 1 + (-1)
= (00000001) + (10000001) --------原码计算
= (10000010)
= (-2 )

 

完成 1-2 =-1：

  1 - 2= 1 + (-2)
= (0000001) + (10000010) -------原码计算
= (10000011)
= (-3)

显然使用原吗计算时减法时，结果不对。

 

那使用反码呢？

完成 1-1 =0：

  1 - 1
= 1 + (-1)
= (00000001)+ (1111110) ---反码计算
= (11111111) 
= (10000000) ---转换原码
= (-0) ---有问题

 

完成 1-2 =-1：

  1 - 2
= 1 + (-2)
= (00000001) + (11111101) ---反码计算
= (11111110)
= (10000001) ---转换原码
= (-1) ---正确.

问题出现在(+0)和(-0)上，在人们的计算概念中零是没有正负之分的，于是就引入了补码概念。

 

负数的补码

负数的补码就是对反码加1，而正数不变，正数的原码反码补码是一样的。

(-1) = (10000001)原码 = (11111110)反码 = ((11111110) + 1)补码

 

下面是补码的运算：

完成 1-1 =0：

  1 - 1
= 1 + (-1)
= (00000001)补 + (11111111)补 即：(11111110)+1)(反码加1)
= (00000000)补
= (00000000)原
= 0 ---正确

 

 完成 1-2 =-1：

  1 - 2
= 1 + (-2)
= (00000001)补+ (11111110)补
= (11111111)补
= (-1 ) ---正确

 

补码的设计目的是：

使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则。

使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的线路设计，所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。