#2059：龟兔赛跑（动态规划dp）

Posted 2021-02-22 riotian

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了#2059：龟兔赛跑（动态规划dp）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Problem Description

据说在很久很久以前，可怜的兔子经历了人生中最大的打击——赛跑输给乌龟后，心中郁闷，发誓要报仇雪恨，于是躲进了杭州下沙某农业园卧薪尝胆潜心修炼，终于练成了绝技，能够毫不休息得以恒定的速度(VR m/s)一直跑。兔子一直想找机会好好得教训一下乌龟，以雪前耻。
最近正值HDU举办50周年校庆，社会各大名流齐聚下沙，兔子也趁此机会向乌龟发起挑战。虽然乌龟深知获胜希望不大，不过迫于舆论压力，只能接受挑战。
比赛是设在一条笔直的道路上，长度为L米，规则很简单，谁先到达终点谁就算获胜。
无奈乌龟自从上次获胜以后，成了名龟，被一些八卦杂志称为“动物界的刘翔”，广告不断，手头也有了不少积蓄。为了能够再赢兔子，乌龟不惜花下血本买了最先进的武器——“"小飞鸽"牌电动车。这辆车在有电的情况下能够以VT1 m/s的速度“飞驰”，可惜电池容量有限，每次充满电最多只能行驶C米的距离，以后就只能用脚来蹬了，乌龟用脚蹬时的速度为VT2 m/s。更过分的是，乌龟竟然在跑道上修建了很多很多（N个)的供电站，供自己给电动车充电。其中，每次充电需要花费T秒钟的时间。当然，乌龟经过一个充电站的时候可以选择去或不去充电。
比赛马上开始了，兔子和带着充满电的电动车的乌龟并列站在起跑线上。你的任务就是写个程序，判断乌龟用最佳的方案进军时，能不能赢了一直以恒定速度奔跑的兔子。

Input

本题目包含多组测试，请处理到文件结束。每个测试包括四行：
第一行是一个整数L代表跑道的总长度
第二行包含三个整数N，C，T，分别表示充电站的个数，电动车冲满电以后能行驶的距离以及每次充电所需要的时间
第三行也是三个整数VR，VT1，VT2，分别表示兔子跑步的速度，乌龟开电动车的速度，乌龟脚蹬电动车的速度
第四行包含了N(N<=100)个整数p1,p2...pn,分别表示各个充电站离跑道起点的距离，其中0<p1<p2<...<pn<L
其中每个数都在32位整型范围之内。

Output

当乌龟有可能赢的时候输出一行 “What a pity rabbit!"。否则输出一行"Good job,rabbit!";
题目数据保证不会出现乌龟和兔子同时到达的情况。

Sample Input

Sample Output

Good job,rabbit!
What a pity rabbit!

理解DP不是一种固定的算法，而是一种思路，是一种用空间换时间的思维方式。开数组记录每一步的最优解，每次比较更新，最后得出的就是整体最优解。
这题每个步骤有个决策，就是在充电站时选择充或不充，每个决策有影响后面的决策。然后就是怎样让每一步达到最优，这时就要用数组记录然后更新，用一个数组记录每一步的最优解，然后再根据决策的不同，将所有可能的情况列出得这一步的最优解，再保存，下来重复操作。这样最后的到的解就为整体的最优解。

思路：dp[i]：记录到站点i的最短时间，从0 - (i-1) 判断确定加油后到i的时间，因为到i点肯定是由0-（i-1)中的某一点加了油后不再加油直接到达i点最优（即肯定有一个最后加油点）。可能会有疑问，如果之前到某一点 j 时还有余量，那再加油判断是不是会有问题呢？其实不会，如果到j你不加油，那肯定是之前的某k点加油了，而那点dp[k]已计算过了，所以不再考虑j点不加油的情况，所以一直dp下来即可求出到达终点的最短时间。

对于动态规划问题，可以按步骤来做：

1、分解出子问题。

2、求得子问题的最优解。

首先将问题转化为：到达一个站点 i 的最优解。

对于每一个站点 i ，我们可以假设在第 j ( 0 < j < i ) 个站点充满电出发，一共有两种状态：

(1) 当从第j个站点到第i个的距离大于电动车能够行使的距离时，需要开与骑相结合。

(2) 当从第j个站点到第i个的距离小于电动车能够行使的距离时，只需要开到。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define INF 1e9
using namespace std;
double rabbit_time, tortoise_time;//兔子和乌龟到达的时间
double dp[150], MinT, time;
int p[105];
int main() {
    int L;//跑道总长度
    int N, C, T;//充电站的个数，电动车冲满电以后能行驶的距离,每次充电所需要的时间
    int VR, VT1, VT2;//兔子跑步速度，乌龟开电动车的速度，乌龟脚蹬电动车的速度
    int dis;
    while (cin >> L) {
        cin >> N >> C >> T;
        cin >> VR >> VT1 >> VT2;
        for (int i = 1; i <= N; ++i)cin >> p[i];
        p[N + 1] = L, dp[0] = 0;//起点是第0个站点，终点是第n+1个站点
        for (int i = 1; i <= N + 1; ++i) {
            MinT = INF;
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dis = p[i] - p[j];//第j个站点到终点的距离
                //两站之间大于单次路程
                if (dis > C) time = C * 1.0 / VT1 + (dis - C)*1.0 / VT2;
                else time = dis * 1.0 / VT1;
                if (j)//到达站点j(j!=0)必定经历了加油
                    time += T;
                time += dp[j];
                MinT = min(time, MinT);
            }
            dp[i] = MinT;//更新在i的最快时间
        }
        tortoise_time = dp[N + 1];
        rabbit_time = L * 1.0 / VR;
        if (tortoise_time > rabbit_time)	printf("Good job,rabbit!
");
        else	printf("What a pity rabbit!
");
    }
    return 0;
}

以上是关于#2059：龟兔赛跑（动态规划dp）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章