割边 + 缩点(得到边连通分量) + 朴素LCA

Posted 2021-02-21 daybreaking

用到的算法

割边 + 缩点(得到边连通分量) + 朴素LCA

算法解析

• 无向图区分重边与同一条边的反方向： 对每一条边都用一个变量id来标识，一条无向边的两个方向用同一个id表示。

• 割边： c++ if(low[v] > dfn[u]) ，即以点v为根的子树不能到达点u及以上，所以边uv为一条割边。

• 缩点(得到边双连通分量)： 去掉桥后，图就变成了若干个隔离的边双连通分量，因为将这些分量缩点。

  • 实现方法：直接对整个图进行dfs，如果有些点属于同一个连通分量，则可以被相同的变量值标记，代表同一个点。这样以每一个没有被标记过的点为起点进行dfs，则完成缩点。

• 朴素LCA：离线查询，时间复杂度是两点距离最近公共祖先的距离和，

  • 思想：若两点的深度不一样，则深度大的结点向上跳；若两点多的深度一样但不是同一个结点，则两点同时向上跳。

• 其他注意的点

  • 求得割边后，如何找到它同一条边反方向的边？利用疑惑操作的性质，若a是奇数，则 a ^ 1 = a - 1; 若a是偶数，则 a ^ 1 = a + 1.

  • 由于LCA是对树的操作， 所以新图必须要找到一个根节点，来确定其它结点的深度。可以让1号结点作为根节点，因为缩点时，新形成点的序号是从1开始的。

  • 添加边后，需要对途径的边进行标记，防止下次再减一遍，但LCA是对点的操作，如何标记边？判断边的下端点，若点需要向上跳且该点还未标记过，则割边数--。

//poj 3694
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <deque>
#include <map>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double pi = acos(-1.0);
const double e = exp(1);
//const int MAXN =2e5+10;
const LL N = 1000000007;

struct edge
{
	int id;
	int flag;
	int from;
	int to;
	int next;
} edge[200009], edge3[200009];
int head[200009];
int head3[200009]; //描述新图中结点之间的关系

int dfn[100009];
int low[100009];
int cnt = 1;
int cnt3 = 0; //用于构建缩点后新图的链式前向星

int New[100009];	 //第i个双联通分量所含有的结点个数
int captain[100009]; //点i所在的边双连通分量

int father[100009];
int vis[100009];
int deep[100009];
int sum;

void tarjan(int u, int id)  //需要考虑去重边的问题
{
	int i;
	low[u] = dfn[u] = cnt++;
	for (i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(id == edge[i].id)     //判断是不是同一条边,若id相同则为同一条
			continue;
		if (!dfn[v])
		{
			tarjan(v, edge[i].id);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (low[v] > dfn[u])
			{
				edge[i].flag = edge[i ^ 1].flag = 1; // 标记割边，在寻找边双连通分量时忽略掉该边

			//	printf("%d ---> %d
", edge[i].from, edge[i].to);
			}
		}
		else
		{
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
}

void seek_doubleEdge(int u, int cnt2)  //缩点
{
	int i;
	dfn[u] = cnt2;
	New[cnt2]++;
	captain[u] = cnt2;
	for (i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if (edge[i].flag)       //连接新形成的点
		{

			if (captain[v])         //如果所连接的点还没有缩点，则跳过。由于是条无向边且当前端点已经缩点，当对无向边的另一个端点缩点时可以建立一条边。
			{
				int a = captain[u];
				int b = captain[v];

				edge3[cnt3].to = b;
				edge3[cnt3].next = head3[a];
				head3[a] = cnt3++;

				edge3[cnt3].to = a;
				edge3[cnt3].next = head3[b];
				head3[b] = cnt3++;

				//	cout << u << " " << v << " " << a << " "<< b << " ** " << endl;
			}
			continue;
		}
		else
		{
			if (!dfn[v])
			{
				seek_doubleEdge(v, cnt2);
			}
		}
	}
}

void init_lca(int u, int fa, int d)
{
	int i;

	deep[u] = d;
	father[u] = fa;
	//	printf("%d  %d  ?? 
", u, deep[u]);
	for (i = head3[u]; i != -1; i = edge3[i].next)
	{
		int v = edge3[i].to;
		if (!deep[v])
		{
			//printf("%d %d %d  (^_^)
", v, u, d);
			init_lca(v, u, d + 1);
		}
	}
}

int lca(int a, int b)
{
	while (deep[a] < deep[b])
	{
		if (vis[b] == 0 && b != 1)
		{
			sum--;
			vis[b] = 1;
		}
		b = father[b];
		
	}
	while (deep[a] > deep[b])
	{
		if (vis[a] == 0 && a != 1)
		{
			sum--;
			vis[a] = 1;
		}
		a = father[a];
		
	}

	while (deep[a] == deep[b] && a != b)
	{
		if (vis[a] == 0 && a != 1)
		{
			sum--;
			vis[a] = 1;
		}

		if (vis[b] == 0 && b != 1)
		{
			sum--;
			vis[b] = 1;
		}

		a = father[a];
		b = father[b];
	}

	return sum;
}

int main()
{
	int n, m, i;
	int cnt1, a, b, q, nn = 0;
	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
	{
		if (n == 0 && m == 0)
			break;
		nn++;
		cnt1 = 0;
		cnt = 1;
		memset(head, -1, sizeof(head));
		memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
		memset(low, 0, sizeof(low));
		memset(captain, 0, sizeof(captain));
		while (m--)
		{
			scanf("%d%d", &a, &b);

			edge[cnt1].id = cnt1;          //[1]
			edge[cnt1].flag = 0;
			edge[cnt1].from = a;
			edge[cnt1].to = b;
			edge[cnt1].next = head[a];
			head[a] = cnt1++;

			edge[cnt1].id = cnt1 - 1;      //[2],同[1]处注释一起为一条无向边的来回方向都标记同一个id.
			edge[cnt1].flag = 0;
			edge[cnt1].from = b;
			edge[cnt1].to = a;
			edge[cnt1].next = head[b];
			head[b] = cnt1++;
		}
		for (i = 1; i <= n; i++) //双连通分量去割边
		{
			if (!dfn[i])
			{
				tarjan(i, -1);
			}
		}

		memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
		memset(head3, -1, sizeof(head3));
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		memset(deep, 0, sizeof(deep));

		int cnt2 = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) //标记双连通分量(缩点)
		{
			if (!dfn[i])
			{
				cnt2++;
				seek_doubleEdge(i, cnt2);
			}
		}
/*
		cout << " ** " << cnt2 << endl; // 边双连通分量的个数
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			printf("* %d   %d
", i, captain[i]);
		}

		
		for (int i = 1; i <= cnt2; i++) //输出缩点后的新图
		{
			for (int j = head3[i]; j != -1; j = edge3[j].next)
			{
				cout << i << " " << edge3[j].to << endl;
			}
		}
*/
		sum = cnt2 - 1;
		init_lca(1, -1, 1);

/*		for (int i = 1; i <= cnt2; i++)
		{
			cout << i << " " << deep[i] << "  ?? " << endl;
		}
*/
		printf("Case %d:
", nn);
		scanf("%d", &q);
		while (q--)
		{

			scanf("%d%d", &a, &b);

			if (captain[a] != captain[b])
			{
				lca(captain[a], captain[b]);
			}
			printf("%d
", sum);
		}
		printf("
");
	}
	return 0;
}