图论MST及拓展

Posted 2020-11-12 xwww666666

MST的三种解法

1>prim

2>kruskal

算法步骤
步骤一：T是边的集合，其初始状态为空；
步骤二：从原图剩余边中选取一条最小代价的边；
步骤三：看其是否与当前T中其它边构成环路；
步骤四：如果未构成环路，则加入T中；否则，丢弃该边；
步骤五：是否还有剩余边，如果有则返回步骤二，否则，程序结束。

算法证明（来自网络）

（1）Kruskal算法一定能得到一个生成树；
（2）该生成树具有最小代价。

=》
（1）假设该算法得到的不是生成树，根据树的定义，就有两种情形，第一是得到的图是有环的，第二就是得到的图是不连通的。由于算法要求每次加入边都是无环的，所以第一种情形不存在，下面就只需证明第二种情形不存在即可。
假设得到的图是不连通的，则至少包含两个独立的的边集，假设其中一个为E，则E中边对应的所有点都无法到达其它边集对应的点
（否则，根据算法定义，相应的联系边应被加入树中），而这与原图是连通的产生矛盾，因此，第二种情形也不可能存在。得证。
（2）假设图有n个顶点，则生成树一定具有n-1条边.由于图的生成树个数是有限的，所以至少有一棵树具有最小代价，假设该树为U。
先做出如下假设：
1)得到的树为T。
2)U和T中不同的边的条数为k,其它n-1-k条边相同，这n-1-k条边构成边集E。；
3)在T中而不在U中的边按代价从小到大依次为a1，a2，...，ak。
4)在U中而不在T中的边按代价从小到大依次为x1，x2，...，xk。
现在我们通过把U转换为T（把T的边依次移入U中），来证明U和T具有相同代价。
首先，我们将a1移入U中，由于U本身是一棵树，此时任意加一条边都构成回路，所以a1的加入必然产生一条回路，且这条回路必然包括x1，x2，...，xk中的边。
（否则a1与E中的边构成回路，而E也在T中，这与T中无回路矛盾。）
在这个回路中删除属于x1，x2，...，xk且代价最大边xi构成一个新的生成树V。
假设a1代价小于xi，则V的代价小于U，这与U是最小代价树矛盾，所以a1不可能小于xi。
假设a1大于xi，按照Kruskal算法，首先考虑代价小的边，则执行Kruskal算法时，xi应该是在a1之前考虑，而a1又在a2，...，ak之前考虑，所以考虑xi之前，T中的边只能是E中的边，而xi既然没加入树T，就说明xi必然与E中的某些边构成回路，但xi和E又同时在U中，这与U是生成树矛盾，所以a1也不可能大于xi。
因此，新得到的树V与T具有相同代价。
依次类推，把a1，a2，...，ak的边逐渐加到U中，最终得到的树（T)与U代价相同。
证明结束。

3>破圈

 

 

<1>最小生成树计数

kruskal+并查集

想象：
把图分成两部分，一部分是环，一部分是链

从破圈法反过来：
一个环，假设是1-2-3（-1）
我现在破圈，就是找里面最大的除去，
但是K，就是找前两条小的边

然后链，因为不连通，所以都要加上

那么如果我想在这个过程中加边，
就是一个环中多个边的值一样，选择多样，
然后找个办法，找出一环环，环上环的选择数

 

据说这是一个定理
1.不同的最小生成树中,每种权值的边出现的个数是确定的。
2.不同的生成树中,某一种权值的边连接完成后,形成的联通块状态是一样的 。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
const int N=103,M=1003,mod=31011;
struct node
{
    int u,v,w;
    bool operator < (const node & o) const
    { return w<o.w; }
} sd[M];
struct nd
{
    int l,r;
    int tm,val;
}dd[M];
int fa[N];
int find(int x)
{ return !fa[x] ?x : find(fa[x]); }//这道题不能路径压缩，？？？？ 

int sum,goal,r;
void dfs(int nw,int kk)
{
    if(kk==goal)
    {
        sum++;
        return ;
    }
    if(nw>=r) return ;
    else
    {
        int fu=find(sd[nw].u ),fv=find(sd[nw].v );
        if(fu!=fv) 
            fa[fu]=fv,dfs(nw+1,kk+1),fa[fu]=fa[fv]=0;
    }
    dfs(nw+1,kk);
}

int ans;
int main()
{    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++)
        scanf("%d%d%d",&sd[i].u ,&sd[i].v ,&sd[i].w );
    sort(sd,sd+m);
    
    int cnt=1,pos=0;
    for(int i=0;i<m;i++)//我在这放了一个cnt，然后去掉了不少可能的结果。。。 
    {
        if(sd[i].w !=dd[pos].val ) dd[++pos].val =sd[i].w ,dd[pos].l =dd[pos-1].r =i;
        int fu=find(sd[i].u ),fv=find(sd[i].v );
        if(fu^fv) 
            fa[fu]=fv,dd[pos].tm ++,cnt++;
    }dd[pos].r =m;
    if(cnt^n)
    {
        printf("0
");
        return 0;
    }
    else ans=1;
    
    memset(fa,0,sizeof(fa));
    for(int i=1;i<=pos;i++)
    {
        if(!dd[i].tm ) continue;
        //if(dd[i].r -dd[i].l ==dd[i].tm ) continue;//我这里计算，想减掉枝，忘了让fa更新，然后一直wa 
        sum=0,goal=dd[i].tm ,r=dd[i].r ;
        dfs(dd[i].l ,0);
        ans=ans*sum%mod;
        for(int j=dd[i].l ;j<dd[i].r ;j++)
        {
            int fu=find(sd[j].u ),fv=find(sd[j].v );
            if(fu!=fv) fa[fu]=fv;
        }
    }
    printf("%d",ans);
    
    return 0;
}

<2>黑暗城堡