题目分享C 二代目

Posted 2021-02-21 lin4xu

题意：一个数列是由 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6.。。。。组成，也就是1-1,1-2,1-3......并且如果遇到多位数也要拆成数字比如1-10就是1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0共11个数字，问第K位是几？

分析：这可能是分享题里比较考验代码能力的题了，

这题唯一运用的算法可能就是二分吧

大体过程也非常好想

就是先确定离他最近且小于他的1-n是几，再算出来他是1-n+1中的答案

比如我要找11 那么离他最近且小于他的 1-n这个n就是4 因为1 1 2 1 2 3 1 2 3 4，此时数列已经10个数了，如果再补个1-5就超过11了

然后显然只需要在1-5中找第11-10个数字是多少就行了，得到答案1

找最近的1-n是几首先你要能算出来对于给定的n，能求出1-n有多少位，再用二分枚举出这个n是几，

二分大家肯定都能想到，问题是怎么计算1-n有多少位

这里我定义sum 1-n是指形如1 1 2 1 2 3 1 2 3 4.。。。1 2。。。 n这种的数字数

num 1-n是指形如1 2 3 。。。。n这种的数字数

先想如何求出num来，

很容易想到，这就是个简单的估计都不算数位dp的数位dp

位数有i位的数显然共有i*(10^i-10^i-1)个数字，因为你长达i位的数显然有10^i-10^i-1个，比如2位的数有10,11，。。。。，99共100-10=90个数

每个数字都有i位，很容易得到这个结论

那么任意的n，num也就很好求了

只需要把比他位数小的求个和，（设n有i位）再加上(n-(10^i-1)+1)*i，这个也很容易推出来，和上面几乎一样

那么求num 的代码也就很好写

ll chuli_num(int x)
{
    int i;
    ll ans=0ll;
    for(i=1;i<=9;i++)
    {
        if(pow_10[i]>x) break;
        ans+=(ll)(pow_10[i]-pow_10[i-1])*i;
    }
    ans+=(ll)(x-pow_10[i-1]+1)*i;
    return ans;
}

然后就是求sum

考虑和求num的过程类似，只不过式子不太一样

在求i位的数的sum值时，可以想一下他长什么样，显然是1-10 1-11 1-12 1-13 ......1-99

直接遍历一遍然后调用求num的函数显然会t

不难发现的是1-11比1-10只多了一个11，也就是两位，所以其实这是一个等差数列求和

首项a1就是1-10^i-1的num值，公差d就是位数i，项数n还是10^i-10^i-1

sum=n*a1+n*(n-1)/2*d

当然任意n值也是一样用等差数列求和， 只不过项数变了而已

代码也能写出来了

ll chuli_sum(int x)
{
    int i;
    ll ans=0ll;
    for(i=1;i<=9;i++)
    {
        if(pow_10[i]>x) break;
        int n=pow_10[i]-pow_10[i-1];
        int a1=chuli_num(pow_10[i-1]);
        ans+=(ll)n*a1+(ll)n*(n-1)/2*i;
    }
    int n=x-pow_10[i-1]+1;
    int a1=chuli_num(pow_10[i-1]);
    ans+=(ll)n*a1+(ll)n*(n-1)/2*i;
    return ans;
}

插句嘴，这题k是1e18，显然最大的n数，怎么也不可能超过1e9，因为光每个数都只算1位都有n*(n+1)/2个数，这已经与1e18很接近了

而就是因为这个将近1e9的数，原本一个只需要递推求num与sum的方法数组开不下，时间也不允许，

 

for(int i=1;i<=9;i++) for(int j=pow_10[i-1];j<pow_10[i];j++) a[j]=a[j-1]+i,b[j]=b[j-1]+a[j];

 

这里a就是num数组，b就是sum数组，这只有一行的递推代码显然要比上面的要好写数倍

 

接下来就是二分的过程了，

首先显然是从sum里找不超过k的最大的sum了

l等于0就行，r取1e9就行，这个二分显然最后结束是要的r的值，这玩意不用再讲了吧。。

 

l=0,r=999999999;
while(l<=r)
{
    mid=l+r>>1;
    now=chuli_sum(mid);
    if(now>k) r=mid-1;
    else if(now==k)
    {
        r=mid;
        break;
    }
    else l=mid+1;
}

 

然后k要减去r对于的sum值，再对num进行一次二分

这次的r’显然不会超过r，因为这次的数字本应就只能取1-r+1，而取r+1显然会被归到二分结果是r+1的那种情况里，所以显然最终结果不会超过r

这里我们依然是找小于等于k的最大的num值，

而k与这个值的差就是我们选的下一个数字的第几位

比如现在剩下k还剩2位，下一个数是123456

那么我们要的就是2

这里怎么处理都可以

我是先算出123456的位数，再抹掉3456，最后mod10，

这里用啥方法都行，

能取出2来就行

int i;
for(i=1;i<=9;i++) if(pow_10[i]>r+1) break;
printf("%d
",(r+1)/pow_10[i-k]%10);

最后的话，这几块代码中间还有一点点细节，也很容易看懂

比如，在第一次sum后剩余的k如果是0的话，就要输出r的num值的最后一位（显然）

再或者，在第二次sum后剩余的k如果是0的话，就要输出r的值的最后一位（显然++）

这些分开写可能都挺好写的，但合在一起任何一个环节出错就没分了，所以挺考验代码能力的

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long

int pow_10[10]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000};

ll chuli_num(int x)
{
    int i;
    ll ans=0ll;
    for(i=1;i<=9;i++)
    {
        if(pow_10[i]>x) break;
        ans+=(ll)(pow_10[i]-pow_10[i-1])*i;
    }
    ans+=(ll)(x-pow_10[i-1]+1)*i;
    return ans;
}

ll chuli_sum(int x)
{
    int i;
    ll ans=0ll;
    for(i=1;i<=9;i++)
    {
        if(pow_10[i]>x) break;
        int n=pow_10[i]-pow_10[i-1];
        int a1=chuli_num(pow_10[i-1]);
        ans+=(ll)n*a1+(ll)n*(n-1)/2*i;
    }
    int n=x-pow_10[i-1]+1;
    int a1=chuli_num(pow_10[i-1]);
    ans+=(ll)n*a1+(ll)n*(n-1)/2*i;
    return ans;
}

int main()
{
    int q,l,r,mid;
    ll k,now;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        scanf("%lld",&k);
        l=0,r=999999999;
        while(l<=r)
        {
            mid=l+r>>1;
            now=chuli_sum(mid);
            if(now>k) r=mid-1;
            else if(now==k)
            {
                r=mid;
                break;
            }
            else l=mid+1;
        }
        k-=chuli_sum(r);
        if(!k)
        {
            printf("%d
",r%10);
            continue;
        }
        l=0;
        while(l<=r)
        {
            mid=l+r>>1;
            now=chuli_num(mid);
            if(now>k) r=mid-1;
            else if(now==k)
            {
                r=mid;
                break;
            }
            else l=mid+1;
        }
        k-=chuli_num(r);
        if(!k)
        {
            printf("%d
",r%10);
            continue;
        }
        int i;
        for(i=1;i<=9;i++) if(pow_10[i]>r+1) break;
        printf("%d
",(r+1)/pow_10[i-k]%10);
    }
    return 0;
}