0x01 位运算

Posted 2021-02-21 sweepy

0x01 位运算

定义

bit是度量信息的单位，包含(0)和(1)两个汇总状态，这种操作的速度很快！！！
首先来定义一下算术位运算

与：(and,&)
或：(or,|)
非：(not,~)
异或：(xor,?)
((?)这个符号通常不实用)

移位运算

左移

[1<<n = 2^n,,,n<<1=2n ]

右移

算数右移

[n>>1 = left lfloor frac{n}{2.0} ight floor ]

逻辑右移

略（基本上不会用到）

(a?b^{,,CH0101})

[求a的b次方对p取模的值，其中1leq a,b,p leq10^9 ]

标准算法（跟位运算无关）

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	unsigned long long ans = 1;
	for (int i = 0; i < b; i++)
	{
		ans *= a;
		ans %= p;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

如果去评测：恭喜你

TLE

因为大数据肯定超时。
于是就需要快速幂！

long long power(int a,int b,int p){
	int ans = 1%p;
	for(;b;b>>=1)
	//for(;b;b/2.0)
	{
		if(b&1)ans = (long long)ans*a%p;
		a=(long long)a*a%p;
	}
	return ans;
}

问题又来了，如果遇到这道题

(64 ext{位整数乘法}^{CH0102})

[求a的b次方对p取模的值，其中1leq a,b,p leq10^{20} ]

那就不香了，连(long,,long)都存不下了，那就尴尬了。

方法一

类似于快速幂，把(b)用二进制表示，得到结果。

[b = c_{k-1}cdot 2^{n-1} + c_{k-2}cdot 2^{n-2} + cdots + c_{0}cdot 2^{0} ]

[ ext{于是}acdot b = c_{k-1}cdot 2^{n-1} cdot a + c_{k-1}cdot 2^{n-1} cdot a + cdots +c_{0}cdot 2^{0} cdot a ]

[ecause acdot 2^i = (acdot 2^{i-1})cdot 2 ext{在运算时每一项都不会超过}2 cdot 10^{18} ]

[ herefore ext{这种方法很香啊,而且时间复杂度是} O(log_2 b)!!! ]

#define ll long long 
ll mul(ll a, ll b, ll c){
    long long ans = 0;
    for(; b; b >>= 1){
        if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
        a = a * 2 % p;
    }
    return ans;
}

方法二

利用$ acdot b,,mod,,p =,,a,,*,,b ,,-,,lfloor frac{acdot b}{p} floor cdot p$ 这个公式。
首先， (a , b le p) 时，这个可以直接完成运算，英文我们不需要其他的精度位，而如果数据很大，只需要考虑比较低位的数据，那就很香了。

#define ll long long
ll mul(ll a, ll b, ll c){
    a %= p, b %= p;
    ll c = (long double) a * b / p;
    ll ans = a * b - c * p
    if (ans < 0) ans += p;
    else if (ans >= p) ans -= p;
    return ans;
}

今天就先到这里了，二进制状态压缩请看这里