快速幂求a的b次方%m

Posted 2021-02-21 elisa02

题目网址：http://class.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1046

快速幂的递归写法

当我知道快速幂之后。才发现 a ^ b还能这样算，太秀了吧，当然你必须带一些二分和递归，不然你看不懂它的递归式。会想（这TM是What ??? ）数学之美就是你在能不断刷新你的认知，还TM能这样，太秀了吧，然后你一跺脚，一拍手，就学会了。神奇的快速幂，时间复杂度O（logb）.

我们已知 2^3  求 2^6,不就是 2^3 * 2^3嘛。快速幂就是这个原理。

 

那有同学问了遇到奇数怎么办？2 ^ 5??

 

那不就是 2 * 2 ^ 4 这不就成了嘛。

 

所以这就是快速幂的基本思路求a ^ b

 

1）当b是奇数时，那么有 a^b = a * a^*(b-1)

 

2）当b是偶数时，那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)

 

举个例子？2 ^10

2^10	=	2^5 * 2^5
2^5	=	2 * 2^4
2^4	=	2^2 * 2^2
2^2	=	2^1 * 2^1
2^1	=	2 * 2^0

根据这两个条件写递归式嘛，这还不简单？

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 
 5 long long quick_pow(int a, int b){
 6     if(b == 0){
 7         return 1;
 8     }else if(b & 1){
 9         return a*quick_pow(a, b-1);
10     }else{
11         return quick_pow(a, b/2) * quick_pow(a, b/2);
12     }
13 }
14 
15 int main(){ 
16     long long a, b, c, ans = 1, cur = a;
17     cin >> a >> b >> c;
18     cout << quick_pow(a, b) % c;
19     return 0;
20 }

针对不同的题目，有两个细节需要注意

1）如果初始值a 大于 m ，那么需要在进入函数前就让a 对 m 取模，

2）若果m 为 1，可以直接在函数外部特判为 0，不需要进入函数来计算。（因为任何数对1 取模都是0）

 

快速幂的迭代写法

对于 a ^ b来说，若果把 b 写成2 进制，那么b 就可以写成若干二次幂之和，如13 的二进制 1101，于是3 号位 、2号位、0号位就都是1，那么就可以得到13 = 2^3 + 2^2 + 2^1 = 8 + 4 + 1。所以a ^13 = a^8 * a^4 * a^1。

通过同样的推导，我们可以把任意的a^b 表示成 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1中若干的乘积。若果二进制的i号位为1.那么想中的a^(2^i)就被选中。于是可以得到计算a^b的大致思路：令i 从0到k枚举b的二进制的每一位，如果为1 那就累计a^(2^i)。注意

a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1前一项总是等于后一项的平方。具体步骤。

（1）初始令ans = 1,用来存放累积的结果。

（2）判断b的二进制末尾是否为1 ，（及判断 b&1 是否为 1），也可以理解为判断b 是否为奇数。如果是的话，令ans乘上a的值。

（3）令a平方，并使b右移一位，（也可以理解为，b/2）

（4）只要b 大于0，就返回（2）。

 例：a^13

b	b&1	ans	a
		1	a
1101	1	1*a=a	a^2
110	0	a	a^4
11	1	a*a^4 = a^5	a^8
1	1	a^5 * a^8 = a ^ 13

迭代代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

long long quick_pow(long long a, long long b, long long m){
    long long ans = 1;//初始令ans = 1,用来存放累积的结果
    while(b > 0){
        if(b & 1){//判断b的二进制末尾是否为1 
            ans = ans * a % m;//如果是的话,令ans乘上a的值 
        }
        a = a * a % m;//令a平方 
        b >>= 1; //使b右移一位,(也可以理解为，b/2) 
    } 
    return ans;//返回累积的结果 
}

int main(){
    int a,b,c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << quick_pow(a,b,c);
}

总结

我认为递归更好记，迭代还可以，但是我们知道了 我们需要补习一下位运算。

咦，递归和2分好像啊。。。。递归如果以中间作为中点递归，感觉就是二分的一种。