最小二乘法

Posted 2021-02-20 lvdongjie

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

 

极端到极致的优美算法。

1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发明“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。

二乘法(2张)

勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。（来自于wikipedia） [1]

 

 

线性最小二乘的基本公式
编辑
考虑超定方程组（超定指未知数大于方程个数）：

其中m代表有m个等式，n代表有 n 个未知数 ，m>n ；将其进行向量化后为：

　　 ， ，
显然该方程组一般而言没有解，所以为了选取最合适的 让该等式"尽量成立"，引入残差平方和函数S

（在统计学中，残差平方和函数可以看成n倍的均方误差MSE）
当 时， 取最小值，记作：

通过对 进行微分求最值，可以得到：

如果矩阵 非奇异则 有唯一解 [1] ：

 

原理
编辑
在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。 （式1-1）
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用计算值Yj（Yj=a0+a1Xi）（式1-1）的离差（Yi-Yj）的平方和 最小为“优化判据”。
令：φ = （式1-2)
把（式1-1）代入（式1-2）中得：
φ = （式1-3)
当 最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
∑2(a0 + a1*Xi - Yi）=0（式1-4)
∑2Xi（a0 +a1*Xi - Yi）=0（式1-5)
亦即：
na0 + （∑Xi ) a1 = ∑Yi （式1-6)
（∑Xi ) a0 + （∑Xi^2 ) a1 = ∑（Xi*Yi) （式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
a0 = （∑Yi) / n - a1（∑Xi) / n （式1-8)
a1 = [n∑(Xi Yi) - （∑Xi ∑Yi)] / (n∑Xi^2 -∑Xi∑Xi)（式1-9)
这时把a0、a1代入（式1-1）中， 此时的(式1-1）就是我们回归的一元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点（x1,y1. x2,y2...xm,ym），为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m （∑Xi / m）（∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m （∑Xi / m)2][∑Yi2 - m （∑Yi / m)2]} （式1-10) *
在（式1-10）中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别为任意一组实验数据X、Y的数值。 [1]