线段树
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线段树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
线段树其实就是一棵二叉树，它将一个数列分成小区域，每个节点分别储存其对应的区间左右端点。
设数组 a[n] ,图中 [ i,j ] 表示每一个二叉树结点对应的区间。容易发现，根节点对应的是整个区间 [ 0,n-1 ] 。一个结点对应的区间为 [ l,r ] ，当l=r时，它就是一个叶子结点，没有左右儿子；否则它就一定有左右两个儿子，存在mid=( l+r )/2，其左儿子为[ l,mid ]，右儿子对应区间为[ mid+1,r ]。
可以看出，二叉树高度h的复杂度只有O( logn )级别。
二进制的位移运算 a * 2 = a << 1 ，表示a在二进制下向左移一位，也就是乘二。这种运算方式会比普通的 * 2 要快
变量清单
变量： 线段树选择用结构体存储（t[ N ]），内含对应左右端点（l,r），对应区间的 区间和(sum)，以及后面会提到的懒标记两个(tag , tag_x)。
另外，代码中大量出现左右儿子，于是我写了一个求左右儿子编号的函数。
#define N 1000000+50//数据边界struct tree{
long long l,r,sum,tag,tag_x;//l,r左右端点，sum为结点对应区间和，tag为加法标记，tag_x为乘法标记
}t[N];//线段树 long long a[N];//输入的数列(1~n) long long m,n,p,k;//如题意(k是操作种类) long long ls(long long rt){return rt<<1;}//左孩子 long long rs(long long rt){return rt<<1|1;}//右孩子 lcez_cyc
Third：线段树操作
建树：
我们可以通过递归得到一棵二叉树，声明函数build（rt,l,r）,rt是线段树的结点，l,r 是这个结点对应的左右边界。如果 l=r，就是到达了叶节点，对应区间和t[rt] . sum等于a[i]。如果没有到达叶子结点，就可以通过build(ls(rt),l,mid)和build(rs(rt),mid+1,r)递归分别建立左右结点。最后更新rt的sum(维护区间和)，等于其左孩子的sum和右孩子的sum相加之和。
void build(long long rt,long long l,long long r){ t[rt].tag_x = 1; t[rt].tag = 0;//初始化 t[rt].l = l,t[rt].r = r;//建立一个结点，更新左右端点标记 if(l == r){ //如果到了叶子结点 t[rt].sum = a[l] % p; //不要忘记取模操作 return; } long long mid = (l + r) >> 1; //中间节点 build(ls(rt),l,mid); build(rs(rt),mid+1,r); //如果不是叶子结点，就分别建立左右孩子 t[rt].sum = (t[ls(rt)].sum + t[rs(rt)].sum) % p; // 更新sum }
这个题来讲，我们的加减、乘除都是区间修改操作，如果将线段树拆开在每个叶子结点上面进行修改再维护，最坏情况下我们修改的复杂度就变成了O(mnlogn)，比暴力还慢。
我们引入懒标记lazy_tag。每一个线段树的结点都会有一个加法的tag和乘法的tag_x，如果我们想要修改的区间覆盖了结点的对应区间，我们不对其中的每一个元素进行修改，而是只更新tag、tag_x和sum，这样就巧妙地优化了程序的复杂度。
x长得很像乘号，所以tag_x就是乘法的懒标记
当然，我们的懒标记也需要在访问的时候，对一个结点进行更新，即把父亲节点（rt）的tag下传到儿子节点，同时更新儿子的sum。如果只有加法这个事情就简单了，可是现在我萌有了乘法，那就要考虑一下运算顺序的问题了。因为乘法的运算级别更高，所以先进行计算。 注意：乘法懒标记不仅要把sum改成sum * tag_x，而且，加法的懒标记tag也要改成tag * tag_x，因为加法tag也是sum的一部分。 另外，因为牵扯到tag会发生变化，代码里面修改的语句也有一定的顺序（tag_x高于tag，tag高于sum）。这一套操作叫懒标记下传。
void push_down(long long rt){ t[ls(rt)].tag_x = (t[ls(rt)].tag_x * t[rt].tag_x) % p; t[rs(rt)].tag_x = (t[rs(rt)].tag_x * t[rt].tag_x) % p;//乘法懒标记更新后取模 t[ls(rt)].tag = (t[ls(rt)].tag * t[rt].tag_x) % p; t[rs(rt)].tag = (t[rs(rt)].tag * t[rt].tag_x) % p;//加法懒标记更新 t[ls(rt)].sum = (t[ls(rt)].sum * t[rt].tag_x) % p; t[rs(rt)].sum = (t[rs(rt)].sum * t[rt].tag_x) % p;//sum结点对应区间和更新 t[rt].tag_x = 1; //父亲的标记已经下传，就归零（因为是乘法，所以要调到1） t[ls(rt)].tag = (t[ls(rt)].tag + t[rt].tag) % p; t[rs(rt)].tag = (t[rs(rt)].tag + t[rt].tag) % p;//加法懒标记更新 t[ls(rt)].sum += (t[ls(rt)].r - t[ls(rt)].l + 1) * t[rt].tag; t[rs(rt)].sum += (t[rs(rt)].r - t[rs(rt)].l + 1) * t[rt].tag;//sum结点对应区间和更新 t[rt].tag = 0;//父亲的标记已经下传，就归零 }
区间修改
懒标记看明白，区间修改就简单了。我萌从第一个结点开始，判断要进行修改的区间是不是覆盖了这个结点的区间，如果覆盖，直接一套骚操作把这个点的tag、tag_x和sum改掉。如果没有覆盖，就往这个节点的孩子递归，直到找到被覆盖的区间。 这里分加法和乘法的区间修改，但是思路相同。还是需要注意一下tag和tag_x的修改顺序。
加法 void change(long long rt,long long x,long long y,long long z){ if(x <= t[rt].l && y >= t[rt].r){ t[rt].tag = (t[rt].tag + z) % p; t[rt].sum = (t[rt].sum + (t[rt].r - t[rt].l + 1) * z) % p; //如果修改区间覆盖了这个节点的区间，就更新 return; } if(t[rt].tag || t[rt].tag_x != 1) push_down(rt);//访问孩子结点的时候一定先把懒标记 传下去 long long mid = (t[rt].l + t[rt].r) >> 1; if(x <= mid){ change(ls(rt),x,y,z); } if(y > mid){ change(rs(rt),x,y,z); } //分别往左右儿子传 t[rt].sum = (t[ls(rt)].sum + t[rs(rt)].sum) % p; //维护 } 乘法 void change_x(long long rt,long long x,long long y,long long z){ if(x <= t[rt].l && y >= t[rt].r){ t[rt].tag_x = (t[rt].tag_x * z) % p; t[rt].sum = (t[rt].sum * z) % p; t[rt].tag = (t[rt].tag * z) % p;//如果修改区间覆盖了这个节点的区间，就更新 return; } if(t[rt].tag || t[rt].tag_x != 1) push_down(rt);//访问孩子结点的时候一定先把懒标记 传下去 long long mid = (t[rt].l + t[rt].r) >> 1; if(x <= mid){ change_x(ls(rt),x,y,z); } if(y > mid){ change_x(rs(rt),x,y,z); } //分别往左右儿子传 t[rt].sum = (t[ls(rt)].sum + t[rs(rt)].sum) % p; //维护 }
区间查询
思路和区间修改相类似，从第一个结点开始 ，如果结点被覆盖，就返回它维护的区间和sum。
long long getsum(long long rt,long long x,long long y){ long long res = 0; if(x <= t[rt].l && y >= t[rt].r){ return t[rt].sum % p; } if(t[rt].tag || t[rt].tag_x != 1) push_down(rt); long long mid = (t[rt].r + t[rt].l) >> 1; if(x <= mid){ res += getsum(ls(rt),x,y); } if(y > mid){ res += getsum(rs(rt),x,y); } return res % p; } } return 0; }
AC
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; long long n,m,k,x,y; long long a[100000]; struct tree{ long long l,r,sum,tag; }t[400000]; long long ls(long long rt){return rt << 1;} long long rs(long long rt){return rt << 1 | 1;} void build(long long rt,long long l,long long r){ t[rt].l = l,t[rt].r = r; if(l == r){ t[rt].sum = a[l]; return; } long long mid = (l + r) >> 1; build(ls(rt),l,mid); build(rs(rt),mid+1,r); t[rt].sum = t[ls(rt)].sum + t[rs(rt)].sum; } //root void push_down(long long rt){ t[ls(rt)].sum += t[rt].tag * (t[ls(rt)].r - t[ls(rt)].l + 1); t[rs(rt)].sum += t[rt].tag * (t[rs(rt)].r - t[rs(rt)].l + 1); t[ls(rt)].tag += t[rt].tag; t[rs(rt)].tag += t[rt].tag; t[rt].tag = 0; } void change(long long rt,long long l,long long r,long long x){ if(l <= t[rt].l && r >= t[rt].r){ t[rt].sum += (t[rt].r - t[rt].l + 1) * x; t[rt].tag += x; return; } if(t[rt].tag) push_down(rt); if(l <= t[ls(rt)].r){ change(ls(rt),l,r,x); } if(r >= t[rs(rt)].l){ change(rs(rt),l,r,x); } t[rt].sum = t[ls(rt)].sum + t[rs(rt)].sum; } long long check(long long rt,long long l,long long r){ if(l <= t[rt].l && r >= t[rt].r){ return t[rt].sum; } if(t[rt].tag) push_down(rt); long long res = 0; if(l <= t[ls(rt)].r){ res += check(ls(rt),l,r); } if(r >= t[rs(rt)].l){ res += check(rs(rt),l,r); } return res; } int main(){ cin >> n >> m; for(long long i = 1;i <= n; i++) cin >> a[i]; build(1,1,n); for(long long i = 1;i <= m; i++){ cin >> k; if(k == 1){ cin >> x >> y >> k; change(1,x,y,k); }else{ cin >> x >> y; cout << check(1,x,y) << endl; } } return 0; }
(CYCNB!)
以上是关于线段树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章