韦达定理

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了韦达定理相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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Case 1. 定义

韦达定理即:

在方程:

[ax^2 + bx + c = 0 (a,b,c in R , a ot = 0) ]

中,两根 (x_1 , x_2) 存在关系:

[x_1 + x_2 = - frac{b}{a} , x_1 imes x_2 = frac{c}{a} ]

Case 2. 求根公式的证明

首先我们要求出 (x_1)(x_2). 这也是 求根公式 的证明过程。

[ax^2 + bx + c = 0 ]

[4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 ]

[(2ax + b)^2 - b^2 = -4ac ]

[(2ax+b)^2 = b^2-4ac ]

[2ax+b = pm sqrt{b^2-4ac} ]

[x = frac{-b pm sqrt{b^2-4ac}}{2a} ]

[x_1 = frac{-b + sqrt{b^2-4ac}}{2a} , x_2 = frac{-b - sqrt{b^2-4ac}}{2a} ]

至此, 求根公式 得证。

Case 3 韦达定理的证明

我们将 (x_1 + x_2 = - frac{b}{a}) 作为 韦达定理 (1)(x_1 imes x_2 = frac{c}{a}) 作为 韦达定理 (2),分别证明。

Case 3.1 韦达定理 (1) 的证明

[x_1 + x_2 = - frac{b}{a} ]

证:

[frac{-b + sqrt{b^2-4ac}}{2a} + frac{-b - sqrt{b^2-4ac}}{2a} ]

[= frac{-2b}{2a} ]

[= - frac{b}{a} ]

得证。

Case 3.2 韦达定理 (2) 的证明

[x_1 imes x_2 = frac{c}{a} ]

证:

[frac{-b + sqrt{b^2-4ac}}{2a} imes frac{-b - sqrt{b^2-4ac}}{2a} ]

[= frac{(-b + sqrt{b^2-4ac} imes (-b - sqrt{b^2-4ac})}{4a^2} ]

[= frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} ]

[= frac{4ac}{4a^2} ]

[= frac{c}{a} ]

得证。

Case 4. 韦达定理的应用

其逆定理为:

(alpha + β = - frac{b}{a} , alpha imes β = frac{c}{a}),则它们都是

[a^2 + bx + c = 0 (a,b,c in R , a ot = 0) ]

的解。

由此可以 构造一元二次方程,有较大应用。尤其在 平面几何,解析几何,方程论 中更具应用。

Case 5. 推广韦达定理

即若有一元 (n) 次方程组:

[sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 (n geq 2 , a_i in R , a_n ot = 0) ]

则其解 (x_0 , x_1 cdots x_n) 满足:

[sum_{i=0}^n x_i = - frac{a_{n-1}}{a_n} ]

[prod_{i=0}^n x_i = (-1)^n frac{a_0}{a_n} ]

有类似证明,读者可自证。

以上是关于韦达定理的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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