P2657 [SCOI2009]windy数 题解

Posted 2021-02-20 bifanwen

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简要题意：

一个 相邻两个数字差的绝对值都 (geq 2) 且不含前导零 的数 被称为 “windy数”。问从 (a) 到 (b) 的 “windy数”的个数。

首先，我们考虑 (1) ~ (n) 的 “windy数” 的个数怎么求。

用 (f_{i,j}) 表示有 (i) 位，最高位为 (j) 的方案数。

那么，从 (i-1 ightarrow i) 只需要在 最高位前面拼上合法的一位。

即：

[f_{i,j} = sum_{k=0}^9 f_{i-1,k} [operatorname{abs}{j,k} geq 2] ]

(k) 即枚举合法的数字。

对于 (i=1) 的情况，(f_{i,j} = 1). 则：

[ f_{i,j} = egin{cases} sum_{k=0}^9 f_{i-1,k} [operatorname{abs}{j,k} geq 2] , i ot = 1 1 , i = 1 \end{cases} ]

如何求答案呢？

我们分为三类：

1. 位数比 (n) 小的数。

2. 位数和 (n) 一样，但最高位比 (n) 小的数。

3. 位数和最高位都和 (n) 一样，但比 (n) 小的数。

第一部分，答案为 （(len) 为 (x) 的位数）

[sum_{i=1}^{len-1} sum_{j=1}^9 f_{i,j} ]

第二部分则枚举最高位即可。

第三部分有点复杂，只需要枚举位数和次高位即可。

时间复杂度：(O(operatorname{siz}^2{n})).

实际得分：(100pts).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘) f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar(); return x*f;}

int n,m,a[15];
int f[15][15];
	
inline int calc(int x) { //计算 1 ~ x 的答案
	memset(a,0,sizeof(a));
	int len=0; while(x) a[++len]=x%10,x/=10;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<len;i++) 
	for(int j=1;j<=9;j++) ans+=f[i][j]; //第一部分
	for(int i=1;i<a[len];i++) ans+=f[len][i]; //第二部分
	for(int i=len-1;i>=1;i--) {
		for(int j=0;j<a[i];j++)
			if(abs(j-a[i+1])>=2) ans+=f[i][j];
		if(abs(a[i+1]-a[i])<2) break;	//第三部分
	} return ans;
}

int main() {
	n=read(),m=read();
	for(int i=0;i<=9;i++) f[1][i]=1;
	for(int i=2;i<=10;i++)
	for(int j=0;j<=9;j++)
	for(int k=0;k<=9;k++)
		if(abs(j-k)>=2) f[i][j]+=f[i-1][k]; //求出 f
	printf("%d
",calc(m+1)-calc(n));	
	return 0;
}