5.2 模拟测试86

Posted 2021-02-20 jrf123

今天考试的时候没啥思路，就什么都不会，挣扎无果后只剩暴力了。

$T1$：人生

题意：$n$个点，部分点已确定黑白，规定只能走向不同颜色且比自己大的点（一个点也算一条路径）。求多少种连边方式能使得图中的路径条数为奇数。$n leq 2e5$

题解：设$end(x)$表示以$x$为结尾的合法方案数。$f[i][j][k][h]$表示前i个点，有j个白点满足$end$为奇数，有$k$个黑点满足$end$为奇数，前$i$个点形成的路径总数为奇/偶数，的方案数。$c(n,opt)$表示从$n$个点的集合中选出奇/偶数个点的方案数。

若当前点为白点，那么只有跟他相连的end为奇的黑点的奇偶性有关，其他i-k个点跟他当前点连不连边不影响，别忘了他自己单独一个点，然后就有四个转移：

$f[i+1][j][k][h]+=f[i][j][k][h]*c(k,1)*2^{i-k}$  //i+1为白点，奇数个end为奇的黑点连过来+自己，所以end(i+1)为偶，不影响h

$f[i+1][j+1][k][h^1]+=f[i][j][k][h]*c(k,0)*2^{i-k}$  //i+1为白点，偶数个end为奇的黑点连过来+自己，所以end(i+1)为奇，h改变

$f[i+1][j][k][h]+=f[i][j][k][h]*c(j,1)*2^{i-j}$  //i+1为黑点，奇数个end为奇的白点连过来+自己，所以end(i+1)为偶，不影响h

$f[i+1][j][k+1][h^1]+=f[i][j][k][h]*c(j,0)*2^{i-j}$  //i+1为黑点，偶数个end为奇的白点连过来+自己，所以end(i+1)为奇，h改变

发现$k>0$时，$c(k,0)*2^{i-k}=2^{i-1}$，$c(k,1)*2^{i-k}=2^{i-1}$；$k==0$时，$c(k,0)*2^{i-k}=2^{i}$，$c(k,1)*2^{i-k}=0$。所以方程可以简化成$f[i][0/1][0/1][h]$跟之前差不多，只不过只要记录是否存在$end$为奇的白/黑点就可以了。

 

$T2$：赢家

题意：$n$个点$m$条边，给边定向，使$1,2$能到达的点的交集不为空，求方案数。$n leq 15$

题解：大神说他讲过，一点印象都没有$kuku$。方案数=总方案数-不合法。设$1$出发能到达的点集为$S$，$2$出发能到达的点集为$T$，现在就是要求$S igcup T= O $。假设已有$f[s]$表示s点集内部的点都定向使得$1$能到达$s$中的任意点。$g[s]$类似。那么枚举$S,T$，（$S,T$之间没边），只一个端点在选择集合中的边，一定是向里指，其他不在一个中的边随意。考虑$f[s]$怎么求。跟$ans$类似，用总方案-不合法。枚举一个$s$的真子集$t，s$里的边，只有一端在$s$里的，一定是指向$t$的，其他随意定向。预处理出一个点集中有多少条边$cnt[s]$数组即可。

 

$T3$：黑红兔

题意：长度为$n$的字符串，从左到右选出$k$个不交子段，使得每个串都是上一个串的严格子串。求最大的$k$

题解：首先，有最优的划分方案一定可以是$k,k-1,k-2...3,2,1$，所以$k$是$sqrt(n)$级别的。设$f[i]$表示最长的合法长度使得$[i,i+f[i]-1]$这个串出现在答案中。类似$sa$求$height$数组，左端点i向左移一位，$f$最多$+1$。然后判断当前这个$f[i]$合不合法，不合法就把左端点为$i+f[i]-1$的所有合法子串全扔进$map$，这样一定可以保证区间互不包含，而且合法子串的子串一定合法。然后$f[i]-1$，不断更新$f[i]$，取最大值就是答案了。判断合法：因为长度都是连续的，所以看去掉前面一个字符或后面的，是否能能在合法字符串中找到一样的 。一个优化，如果当前这个串已经在$map$里了，那么他的子串一定也在了，直接$break$即可。

 $ps.$我去学$T3$正解。