损失函数总结

Posted 2021-02-20 ziytong

损失函数（loss function）是用来估量你模型的预测值f(x)与真实值Y的不一致程度，衡量模型预测的好坏。它是一个非负实值函数,通常使用L(Y, f(x))来表示，损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。

损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子

 

 

 

 

       其中，前面的均值函数表示的是经验风险函数，L代表的是损失函数，后面的Φ是正则化项（regularizer）或者叫惩罚项（penalty term），它可以是L1，也可以是L2，或者其他的正则函数。整个式子表示的意思是找到使目标函数最小时的θ值。

下面主要列出几种常见的损失函数。

一、log对数损失函数（逻辑回归）：

log损失函数的标准形式：

 

在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值

把极大化当做是一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数。从损失函数的视角来看，它就成了log损失函数

取对数是为了方便计算极大似然估计，因为在MLE中，直接求导比较困难，所以通常都是先取对数再求导找极值点。损失函数L(Y, P(Y|X))表达的是样本X在分类Y的情况下，使概率P(Y|X)达到最大值（换言之，就是利用已知的样本分布，找到最有可能（即最大概率）导致这种分布的参数值；或者说什么样的参数才能使我们观测到目前这组数据的概率最大）。因为log函数是单调递增的，所以logP(Y|X)也会达到最大值

因此在前面加上负号之后，就等价于最小化损失函数了

二、平方损失函数（最小二乘法, Ordinary Least Squares ）

最小二乘的基本原则是：最优拟合直线应该是使各点到回归直线的距离和最小的直线，即平方和最小。

换言之，OLS是基于距离的，而这个距离就是我们用的最多的欧几里得距离

 

为什么它会选择使用欧式距离作为误差度量呢（即Mean squared error， MSE），主要有以下几个原因：

* 简单，计算方便；

* 欧氏距离是一种很好的相似性度量标准；

* 在不同的表示域变换后特征性质不变。

平方损失（Square loss）的标准形式如下：

 

 当样本个数为n时，此时的损失函数变为：

 

 

      Y-f(X)表示的是残差，整个式子表示的是残差的平方和，而我们的目的就是最小化这个目标函数值（注：该式子未加入正则项），也就是最小化残差的平方和（residual sum of squares，RSS）。

而在实际应用中，通常会使用均方差（MSE）作为一项衡量指标，公式如下：

 

 三、指数损失函数（Adaboost）

常用在Adaboost之中

在Adaboost中，经过m此迭代之后，可以得到fm(x):

 

 Adaboost每次迭代时的目的是为了找到最小化下列式子时的参数α 和G：

 

 而指数损失函数(exp-loss）的标准形式如下

可以看出，Adaboost的目标式子就是指数损失，在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：

 

 四、Hinge损失函数（SVM）

Hinge 损失函数的标准形式：

 

 y^为预测值，在-1到1之间，y为目标值（-1或1）。

五、其它损失函数

除了以上这几种损失函数，常用的还有：0-1损失是指，预测值和目标值不相等为1，否则为0：

0-1损失函数：（注意是不相等时为1，相等时为0）

 

 绝对值损失函数：

 

 参数越多，模型越复杂，而越复杂的模型越容易过拟合。过拟合就是说模型在训练数据上的效果远远好于在测试集上的性能。此时可以考虑正则化，来权衡损失函数和正则项，减小参数规模，达到模型简化的目的，从而使模型具有更好的泛化能力。

 

 

机器学习中的目标函数、损失函数、代价函数有什么区别？

 损失函数和代价函数是同一个东西，目标函数是一个与他们相关但更广的概念，对于目标函数来说在有约束条件下的最小化就是损失函数（loss function）。

 

 

上面三个图的函数依次为 f1(x) ,f2(x)  ,f3(x)  。我们是想用这三个函数分别来拟合Price，Price的真实值记为 Y 。
我们给定  x，这三个函数都会输出一个f(x)  ,这个输出的 f(x) 与真实值 y 可能是相同的，也可能是不同的，为了表示我们拟合的好坏，我们就用一个函数来度量拟合的程度，比如：

这个函数就称为损失函数(loss function)，或者叫代价函数(cost function)。损失函数越小，就代表模型拟合的越好。

那是不是我们的目标就只是让 loss function 越小越好呢？

答案是否定的。

f(x)  关于训练集的平均损失称作经验风险(empirical risk)，即 

 

 所以我们的目标就是最小化 

 

称为经验风险最小化。

       如果到这一步就完了的话，那我们看上面的图，那肯定是最右面的 f3(x) 的经验风险函数最小了，因为它对历史的数据拟合的最好。但是我们从图上来看f3(x) 肯定不是最好的，因为它过度学习历史数据，导致它在真正预测时效果会很不好，这种情况称为过拟合(over-fitting)。

       为什么会造成这种结果？大白话说就是它的函数太复杂了，都有四次方了，这就引出了下面的概念，我们不仅要让经验风险最小化，还要让结构风险最小化。这个时候就定义了一个函数 J(f) ，这个函数专门用来度量模型的复杂度，在机器学习中也叫正则化(regularization)。常用的有 L1 ,L2  范数。

到这一步我们就可以说我们最终的优化函数是

 

 即最优化经验风险和结构风险，而这个函数就被称为目标函数。

此时结构化风险的定义为

 

结合上面的例子来分析：最左面的 f1(x)结构风险最小（模型结构最简单），但是经验风险最大（对历史数据拟合的最差）；最右面的f3(x)  经验风险最小（对历史数据拟合的最好），但是结构风险最大（模型结构最复杂）;而 f2(x) 达到了二者的良好平衡，最适合用来预测未知数据集。