JOI汉堡肉

Posted 2021-02-20 cszmc2004

不靠谱做法：随机化。

靠谱做法：观察发现当k<4时，答案一定处于一个关键矩形(min(r[i]),max(l[i]),min(y[i]),max(x[i]))的边界。

如果不处在边界上，显然可以把它移到边界。

当k<4时，由抽屉原理可得一定有一个关键点在某个定点。

搜索所有顶点，在搜索中可以删除这个点，移除所有包含它的矩形再做一遍算法。

这个算法在k<4是正确的。但是在k=4时，可能所有点都在边上，显然上面的算法错误。

问题被我们转化成了求一个让所有点都在边上的一组解。使用4个变量描述边的情况。

考虑每个矩形，问题实际上可以被分成几类讨论：

1.矩形完全包含关键矩形，不作处理

2.矩形与关键矩形不交于边界，无解（题目不会无解）

3.矩形与关键矩形交于一角，则问题转化为两个不等式有至少1个要成立。

4.矩形与关键矩形交于一边，则问题转化成要求一个不等式成立。

5.矩形覆盖了关键矩形的一边，则这一边一定有一个点在这个矩形中，所以不作处理

实际上，可以使用2sat解决这个问题。

设f[x][i]表示x是否<=i，则~f[x][i]=x是否>i

所以，l<=x<=r实际上就是让f[x][l-1]为false，f[x][r]为true，就是让2个变量为true则4情况可以被处理。

3情况的处理可以把不等式转化一下。

l<=a<=r且x<=b<=y就是(~f[a][l-1]&f[a][r])|(~f[b][x-1]&f[b][y])

这个不是2sat形式，但是可以使用or的分配律转化成(~f[a][l-1]|~f[b][x-1])&(~f[a][l-1]|f[b][y])&(f[a][r]|~f[b][x-1])&(f[a][r]|f[b][y])

变成了4个不等式，这样子就变成了2sat形式。

把所有f[x][l]->f[x][l+1]连边，则跑一下2sat，用tarjan的dfs序输出方案即可

注意要离散化。