题解[SDOI2016]征途

Posted 2021-02-20 h-lka

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题目大意：给定序列，将它划分为(m)段使得方差最小，输出(s^2*m^2)（一个整数）。

( ext{Solution:})

这题我通过题解中的大佬博客学到了一般化方差柿子的写法。

下面来推柿子：

[s^2=frac{sum_{i=1}^n (x_i-overline{x})^2}{n}=frac{1}{n}(sum_{i=1}^n x_i^2+n*(frac{ sum_{i=1}^n x_i}{n})^2-2sum_{i=1}^n (x_i* frac{sum_{k=1}^n x_k}{n})) ]

[s^2=frac{sum_{i=1}^n x_i^2+frac{(sum_{i=1}^n x_i)^2}{n}-2 frac{(sum_{k=1}^n x_i)^2}{n}}{n} ]

化简得到:

[s^2=frac{(x_1^2+...+x_n^2)-frac{(sum_{i=1}^n x_i)^2}{n}}{n} ]

两边乘以(n^2)得到：

[s^2n^2=nsum_{i=1}^n x_i^2 -(sum_{i=1}^n x_i)^2=nsum_{i=1}^n x_i^2 -sum[n]^2 ]

其中(sum)是前缀和。最后这个柿子里面，(n,sum)都是常数，最终要处理的就是(sum_{i=1}^n x_i^2).

设(dp[i][l])表示前(i)个元素划分(l)次的最小平方和，有：

[dp[i][l]=min_{j<i}dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2 ]

[dp[i][l]=dp[j][l-1]+sum[i]^2+sum[j]^2-2sum[i]sum[j] ]

[dp[j][l-1]+sum[j]^2=2sum[i]sum[j]+dp[i][l]-sum[i]^2 ]

[y=dp[j][l-1]+sum[j]^2,k=2sum[i],x=sum[j],b=dp[i][l]-sum[i]^2 ]

最终目的最小化(dp[i][l])这里就是最小化(b),观察到(2sum[i])这个斜率单调递增，所以我们维护所有大于这个斜率的决策点，做到(O(n).)

对于这个题，还可以滚动数组优化，虽然这里不需要。

几个实现细节：前(i)个元素可以划分成(i)段，所以每次枚举起点，它的决策起点应该是划分段数(-1),开始应该是划分段数对应的元素数。因为再往前往后都会导致不合法。

写( ext{slope})的时候最好用( ext{long double}).顺序不要搞反。当然这个题主要难点是推方差柿子……( ext{WCSL.})

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,a[20010],sum[20010];
int dp[4000][4000],tail,head;
int q[200010];
int X(int x){return sum[x];}
int Y(int x,int p){return dp[x][p-1]+sum[x]*sum[x];}
long double slope(int x,int y,int p){return (long double)(Y(y,p)-Y(x,p))/(X(y)-X(x));}
//dp[i][l]=dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i],dp[i][1]=sum[i]*sum[i];
	for(int p=2;p<=m;p++){
		head=tail=1;
		q[head]=p-1;
		for(int i=p;i<=n;++i){
			while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1],p)<2.0*sum[i])head++;
			dp[i][p]=dp[q[head]][p-1]+(sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]]);
			while(head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail],p)>slope(q[tail-1],i,p))tail--;
			q[++tail]=i;
		}
	}
	printf("%lld
",m*dp[n][m]-sum[n]*sum[n]);
	return 0;
}

附上推柿子时( ext{word})上的东西：

(Dp[i][l]=dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2)
(Dp[i]][l]=dp[j][l-1]+sum[i]^2+sum[j]^2-2sum[i]sum[j])
(Dp[j][l-1]+sum[j]^2=2sum[i]sum[j]+dp[i][l]-sum[i]^2)
(Y=dp[j][l-1]+sum[j]^2,k=2sum[i],x=sum[j],b=dp[i][l]-sum[i]^2)
最小化(b)，即可

(Ans=-sum[n]^2+m*dp[n][m])