集合与简易逻辑

Posted 2021-02-20 brightwin

一、集合

集合的概念及表示方法

A.集合的相关概念

集合：某些指定的对象集中在一起就成为一个集合。构成集合的这些对象成为集合的元素。

不含任何元素的集合叫做空集，记作$ phi $。

B.集合中元素的性质

• 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体的对象,则x或者是集合A的元素或者不是,两种情况必须满足一种。
• 互异性：一个给定的集合中，各个元素互不相同。
• 无序性：一个给定的集合中，元素之间不存在排列顺序的关系。

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C.集合的表示方法

• 列举法：把集合中的元素一一列举出来，卸载大括号内。
• 描述法：把集合中的元素的公共属性特征描述出来，写在大括号内。
• 图示法

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D.集合间的关系

• 全集:含有我们所研究的各个集合的全部元素的集合。
• 子集：对于两个集合A与B，若A中任何一个元素都是集合B的元素，则集合A是B的一个子集，记作$ A subseteq B$。
• 真子集：对于两个集合A与B，若A是B的子集且B中至少存在一个元素不属于集合A,则称集合A是B的真子集。

由n个元素组成的集合，其子集的个数为$ 2^n $个，真子集的个数为$ 2^{n-1} $个。（其中减去的那个子集是是全部元素构成的。）

E.集合与元素之间的关系

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F.集合与元素间的关系

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作$ ain A $,否则$ a otin A$

集合的运算

二、简易逻辑

逻辑联结词：“或（$ vee $）”“且（$ wedge $）”“非（$ eg$）”

命题

A.命题的概念

可以判断真假的语句称为命题。

不含逻辑联结词的命题称为简单命题；含有的称为复合命题。

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B.四种命题

• 原命题：若p,则q。若x>3,则x>4。

• 否命题：若$ eg p$,则$ eg q$。若x<=3,则x<=4。

• 逆命题：若q,则p。若x>4,则x>3。

• 逆否命题：若$ eg q$,则$ eg p$。若x<=4,则x<=3。

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C.四种命题之间的相互关系

原命题与其逆否命题的真假性一致。

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(三)全称命题与特称命题

A.全称量词

逻辑中“对所有的”，“对任意一个”，用符号$ forall $表示。

B.存在量词

逻辑中“存在一个”，“至少一个”，用符号$ exists $表示。

C.全称命题

含有全称量词的命题。

D.特称命题

含有存在量词的命题。

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

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【例】（2012年下半年-初级中学-选择题）设${a_n}$为数列，对于“存在正数M，对任意正整数n，有$|a_n|$<=M”的否定(即数列{$a_n$}无界)是()

[答案]对任意正数M,存在正整数n,有$|a_n|$>M

(四)充分条件与必要条件

1. 前=>后:充分条件;
2. 后=>前:必要条件;
3. 前=>后,后推不到前:充分不必要条件;
4. 后=>前,前推不到后:必要不充分条件;
5. 既不从分也不必要。

【例】（2015年上半年-高级中学-选择题$forall a,bin$R,"a<b"是“ $a^3|b| $<$b^3|b|$”成立的（ ）

答案充分必要条件

[解析]：1. 当a>=0,b>0时，前推得到后，后也推得到前；2.当a<=0,b>0,前推得到后，后也推得到前;3.当a<0,b<0时，前推得到后，后也推得到前。