「UVA 12167」 Proving Equivalences

Posted 2021-02-20 -wallace-

Description

在数学中，我们常常需要完成若干命题的等价性证明。

例如：有 (4) 个命题 (a,b,c,d)，要证明他们是等价的，我们需要证明 (aLeftrightarrow b)，然后 (bLeftrightarrow c)，最后 (cLeftrightarrow d)。注意每次证明是双向的，因此一共完成了 (6) 次推导。另一种证明方法是：证明 (a ightarrow b)，然后 (b ightarrow c)，接着 (c ightarrow d)，最后 (d ightarrow a)，只须 (4) 次证明。

现在你任务是证明 (n) 个命题全部等价，且你的朋友已经为你作出了 (m) 次推导（已知每次推导的内容），你至少还需做几次推导才能完成整个证明。

Hint

• (1le nle 2 imes 10^4)
• (0le mle 5 imes 10^4)

Solution

实际上这是一个图论题：给定一个有向图，问至少需要加几条边，可以使整个图变为一个 强连通图。

首先要知道，把边加到 同一个 ( exttt{SCC}) 中的某两点之间 没有任何意义，于是我们把做个图2做一个 缩点 的操作，使其成为一个 DAG。

然后我们就是在这些缩点后的点上加边。

显然一个 SCC 中，任意两点是互相可达的，于是所有点都必须有入度和出度。

若设入度为 (0) 的点集为 (S), 出度为 (0) 的点集为 (T)，那么至少 (|S| + |T|) 条边必能构造处一个强连通图。

但我们可以“一边两用”：将尽可能多的边连成从 (T) 中的点到 (S) 中的点的边。这样答案就是 (max(|S|,|T|))。

缩点用 ( exttt{Tarjan}) 算法，复杂度 (O(n + m))

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <vector>

using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;

vector<int> G[N];
int n, m, belong[N];

vector<int> Gx[N];
int scc, in[N], out[N];

int dfn[N], low[N];
int timer;
stack<int> st;
bool inst[N];

void Tarjan(int x) {
	dfn[x] = low[x] = ++timer;
	st.push(x), inst[x] = true;
	for (auto y : G[x])
		if (!dfn[y]) Tarjan(y), low[x] = min(low[x], low[y]);
		else if (inst[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	
	if (dfn[x] == low[x])
		for (++scc; ; ) {
			int k = st.top(); st.pop();
			inst[k] = false, belong[k] = scc;
			if (x == k) break;
		}
}

void solve() {
	memset(dfn, 0, sizeof dfn);
	memset(low, 0, sizeof low);
	memset(inst, 0, sizeof inst);
	memset(in, 0, sizeof in);
	memset(out, 0, sizeof out);
	memset(belong, 0, sizeof belong);
	timer = scc = 0, st = stack<int>();
	
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (register int i = 1; i <= n; i++)
		G[i].clear(), Gx[i].clear();
	for (register int u, v, i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		G[u].push_back(v);
	}
	
	for (register int i = 1; i <= n; i++)
		if (!dfn[i]) Tarjan(i);
	
	if (scc == 1) return void(puts("0"));
	
	for (register int i = 1; i <= n; i++)
		for (auto j : G[i])
			if (belong[i] != belong[j])
				Gx[belong[i]].push_back(belong[j]);
	
	for (register int i = 1; i <= scc; i++) {
		out[i] = Gx[i].size();
		for (auto j : Gx[i]) in[j]++;	
	}
	int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
	for (register int i = 1; i <= scc; i++)
		cnt1 += (in[i] == 0), cnt2 += (out[i] == 0);
	
	printf("%d
", max(cnt1, cnt2));
}

signed main() {
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) solve();
	return 0;
}